专题 等时圆模型（练习）-高中物理课件（人教版必修第一册）

专题  等时圆模型  同步练习

一、单选题

1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　）

A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB＞tCD＞tEF

C．tAB＜tCD＜tEF D．tAB＝tCD＜tEF

【答案】B

【详解】如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知

tAB＞tCD＞tEF

故选B。

2．（2022·内蒙古·乌兰察布市新龙兴中学高三阶段练习）如图所示，在与坡底B点的距离为L的山坡上，竖直固定一长度为L的直杆AO，O为山坡的中点，A端与坡底B之间连接一根光滑的细钢绳。现让一穿在钢绳上的小环从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，则小环在钢绳上滑行的时间为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】D

【详解】如图所示，

以O点为圆心、A为圆周的最高点、AB为弦作圆。设为，则

解得

故选D。

3．（2023·全国·高三专题练习）倾角为的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方A点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D三点，其中AC与斜面垂直，且，现有三个质量均为的小圆环（看作质点）分别套在三根细杆上，依次从A点由静止滑下，滑到斜面上B、C、D三点所有时间分别为、、，下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由于

则可以判断AB竖直向下，以AB为直径作圆，由几何关系可知C点落在圆周上，D点落在圆周外，由等时圆的知识可知，故选B。

4．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上最高点沿三个不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用的时间分别为、、，乙图中质点从竖直面内的圆环上沿三个不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用的时间分别为、、，则（　　）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【详解】如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知

由匀变速直线运动规律有

得下滑时间

即下落时间只与半径有关，故A正确，BCD错误。故选A。

5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）如图所示，位于竖直平面内的圆内有OA、OB、OC三条光滑轨道，已知在时，a、b、c三球分别从O由静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到A、B、C三点，所用时间分别为、、，下列关系正确的是（   ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】A

【详解】从图中点做竖直线，以为弦做圆，圆与相交于点，圆与延长线相交于点，如图所示

由等时圆模型可知，小球沿光滑轨道、、所用时间相等，由图可知，小球沿光滑轨道所用时间大于沿光滑轨道所用时间，小球沿光滑轨道所用时间小于沿光滑轨道所用时间，则有

故选A。

6．（2021·重庆市璧山中学校高一阶段练习）光滑斜轨道PA、PB、PC的端点都在竖直平面内的同一圆周上，物体从P点由静止开始沿不同轨道下滑，如图所示，下列说法中正确的是（    ）．

A．物体沿PA下滑时间最短 B．物体沿PB下滑时间最短

C．物体沿PC下滑时间最短 D．物体沿不同轨道下滑所用时间相同

【答案】D

【详解】设过P点的任意光滑斜轨道与PB的夹角为，可知轨道长为，根据牛顿运动定律，可得沿轨道下滑的物体的加速度为，再结合匀变速直线运动的规律可得，可得，与夹角无关，故D正确

7．（2022·河南省驻马店高级中学高三阶段练习）如图所示，竖直墙与水平地面交点为O，从竖直墙上的A、B两点分别搭两条光滑轨道到M点，、，M点正上方与B等高处有一C点。现同时将a、b、c球分别从A、B、C三点由静止开始释放。则（　　）

A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点

C．c球最先到达M点 D．b球和c球都可能最先到达M点

【答案】C

【详解】以为圆心，BC为半径作圆，如图

根据“等时圆”原理可知，从圆上各点沿弦到最低点经过的时间相等，则

故ABD错误，C正确。

故选C。

8．（2022·全国·高三专题练习）处于竖直平面内的某圆周的两条直径AB、CD间夹角为60°，其中直径AB水平，AD与CD是光滑的细杆，穿过细杆的两个小球分别从A点和C点由静止释放，它们下滑到D点的时间分别是t1、t2，则t1：t2是（   ）

A．1：1 B．2：1 C． D．

【答案】C

【详解】由几何关系得，AD与水平面的夹角为30°，设圆周的半径为R

xAD = 2Rcos30° = R

根据牛顿第二定律得，小球在AD上运动的加速度a1= gsin30° = g

根据xAD = a1t12

得t1=

xCD = 2R

小球在CD上运动的加速度a2= gsin60° = g

根据xCD = a2t22

得t2=

则 =

故选C。

9．（2021·云南省通海县第一中学高一阶段练习）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，B点在y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心．现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则（　　）

A．tA<tB<tC B．tA=tC<tB C．tA=tC=tB D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系

【答案】B

【详解】对于AM段，位移

加速度

根据

得

对于BM段，位移

加速度

由

得

对于CM段，设CM与竖直方向夹角为θ，同理可解得

即

故选B。

10．（2022·湖南·高一期末）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，由斜面上方A点伸出三根光滑轻杆至斜面上BCD三点，其中轻杆AC与斜面垂直，，把可看成质点的质量为m的圆环依次沿三根轻杆从A点由静止滑下，滑到斜面过程中的平均速度分别为、、，下列说法正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因AB垂直于斜面底边，以AB为直径做圆，则必过C点，如图

圆环在杆AC上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得

联立解得

即从A点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得

由平均速度

结合数学知识可得，故选B。

11．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图所示，有3根光滑杆AC、BC和BD，其端点正好在同一个竖直的圆周上，A为最高点，D为最低点。现有一穿孔的小球，分别穿过3根杆从杆的顶端静止滑下，从A到C、B到C、B到D的时间分别计为、、。下列判断正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】如图所示连接AD两点，设AC与AD的夹角为，则

根据，得

时间与角度无关，BD与AC的情形类似，故，这类为等时圆问题，利用上述结论以点B为最高点画圆，如图

图中小球沿杆分别下滑到D、F的时间相等，而BC比BF长，下滑时间会长一点，故；

故选C．

二、多选题

12．（2021·湖南·平江县第三中学高三阶段练习）如图所示，AC、BC为位于竖直平面内的两根光滑细杆，A、B、C三点恰好位于同一圆周上，C为该圆周的最低点，a、b为套在细杆上的两个小环．两小环同时分别从A、B点由静止下滑，则（　　）

A．a、b环同时到达C点

B．a环先到达C点

C．b环先到达C点

D．a到达C点的速度比b到达C点的速度大

【答案】AD

【详解】ABC．做出辅助线，如图所示

小环在杆上做初速度为0的匀加速直线运动，设，小环在杆上下滑时加速度有

解得

设圆的半径为R，根据几何关系有

根据位移时间关系得

解得

由上述式子可知，环到底底端所用时间与杆的倾角无关，故A项正确，B项和C项错误；

D．设到达底端速度为v，则有

解得

由上述式子可知，到达底端速度与杆的倾角有关，倾角越大，速度越小，故D项正确。故选AD。

13．（2022·湖南师大附中高一开学考试）如图所示，PQ为圆的竖直直径，AQ、BQ、CQ为三个光滑斜面轨道，分别与圆相交于A、B、C三点。现让三个小球（可以看作质点）分别沿着AQ、BQ、CQ轨道自端点由静止下滑到Q点，运动的时间分别为t1、t2和t3，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【详解】AB．设任一斜面与水平方向的夹角为，圆的直径为d。根据牛顿第二定律得

斜面的长度为

则由

解得

可见，小球下滑时间与斜面的倾角无关，则有

故A错误；B正确；

CD．根据

又

则

故C正确；D错误。故选BC。

14．（2020·全国·高一专题练习）下列甲、乙、丙、丁四图中的1、2、3 是三个光滑轨道，甲、乙、丙图中的三个轨道与水平面的夹角从大到小均为60°、45°、30°，甲图中三个轨道的起点高度相同，乙图中三个轨道对应的水平底边相同，丙图中三个斜轨道的长度相同，丁图中②轨道为竖直直径，①③轨道的一端分别与②轨道的底端和顶端在同一点上，另一端分别在圆周上。现让同一物体分别沿四个图中的三个光滑轨道从顶端由静止开始下滑，到达底端所用的时间分别为t1、t2、t3，下列说法正确的是（　　）

A．对于甲图有：t1<t2<t3 B．对于乙图有：t2<t1=t3

C．对于丙图有：t1<t2<t3 D．对于丁图有：t1<t3<t2

【答案】BC

【详解】A．设斜面的倾角为，斜面高为h， 则下滑的加速度

解得

下滑的位移

根据

解得

故倾角越大下落的时间越短，A错误；

B．设轨道的底边长为L，斜面的倾角为 ，则倾斜轨道的长度

根据牛顿第二定律

解得

根据

解得

将θ角带入则

t2<t1=t3

B正确；

C．设斜面长为L，斜面的倾角为 ，根据牛顿第二定律

解得

根据

解得

即倾角越小时间越长

t1<t2<t3

C正确；

D．如图

设圆轨道半径为R，从轨道②下落时，根据

解得

从轨道③下落时，沿轨道下落时的加速度

解得

轨道的长

根据

解得

从轨道①下落时，沿轨道下落时的加速度，根据牛顿第二定律

解得

轨道的长

根据

解得

t1=t2=t3

D错误。故选BC。