第9章 平面向量单元综合能力测试卷-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

第9章 平面向量单元综合能力测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，满足，，且，的夹角为，则（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】B【解析】，所以，， ，所以.故选：B2．如图，将扇形圆弧拉直后，恰得一边长为的等边三角形，若利用泰勒公式的前三项计算的值，则在扇形中计算（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得：扇形的圆弧长为4,又,所以,由的前三项,则,则.故选：A.3．在中，，分别在，上，且，，，交于点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，过点作的平行线交于在中，为中位线，又在中，所以故选：A4．已知向量，若共线，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知，，则，，，，解得：故选：A5．已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（    ）A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】由题意，，即，，因为故，则.故选：A6．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，，故，，故.故选：B7．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，设，则.由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，∵与反向共线，，∴，∴，∴.故选：D8．在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】过点作平行于，交于点，因为，则为的中点，所以且，因为，所以，由可得：，所以，因为，所以，故选：.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（    ）A．B．在上的投影向量可能为C．D．若，则【答案】BC【解析】对选项A，，故A错误.对选项B，在上的投影向量为，若，则，即所成角为.所以当所成角为时，在上的投影向量为，故B正确.对选项C，，因为是单位圆上的动点（可重合），所以，所以，故C正确.对选项D，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC10．已知，则下列结论正确的有（    ）A． B．与方向相同的单位向量是 C． D．与平行【答案】ABC【解析】因，则，A正确；与方向相同的单位向量是，B正确；，而，所以，C正确；因，则与不平行，D不正确.故选：ABC11．中，点M是边的中点，，则一定不是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ABC【解析】因为点M是边的中点，所以,故由可得,所以,即,故选：ABC12．把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比､黄金分割不仅仅体现在诸如绘画､雕塑､音乐､建筑等艺术领域，而且在管理､工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点为线段的黄金分割点，点为的中点，点为线段上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（    ）A．B．C．在上的投影向量为D．的取值范围是【答案】BCD【解析】如图，，则有，，故A错，B对；由于为中点，故，，故，在上的投影向量为，故C对；，明显可见，当时，取最小值，当与重合时有最大值，故，可得D对；故选：BCD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，，则______.【答案】【解析】，，，.故答案为：.14．已知向量，，若与的夹角为钝角，则整数的一个取值可以是______.【答案】（或，，，，，，，填写一个答案即可）【解析】因为与的夹角为钝角，所以，所以，若与平行，即，所以，化简得，得，其中当时，与反向平行，故整数的取值可以是，，，，，，，.故答案为：（或，，，，，，，填写一个答案即可）15．已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夹角），则______．【答案】【解析】故答案为：.16．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______【答案】【解析】由正六边形的性质得： ，则，，，而表示在上的投影，当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，所以的取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）平面内给定两个向量.(1)求；(2)若，求实数的值.【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以，若，则，解得：.18．（12分）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．(1)用，表示，；(2)如果，，且，求．【解析】（1）因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，所以，.（2）由（1）可知，，所以，由，可得，所以．19．（12分）设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．(1)试求向量2＋的模；(2)试求向量与的夹角；(3)试求与垂直的单位向量的坐标．【解析】（1）∵,∴,∴（2）∵||＝＝．＝，•＝（﹣1）×1+1×5＝4．∴cosA＝＝＝（3）设所求向量为,则．  ①又，由得．  ②由①②，得或∴，或20．（12分）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.【解析】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，设点，则有，而，又，所以，又因，解得，故点的坐标是；（2）依题意夹角为，，，所以.21．（12分）已知向量，满足，，．(1)求向量和的夹角；(2)设向量，，是否存在正实数t和k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由．【解析】（1），∴，设向量和的夹角为，， ∴与夹角为．（2）假设存在正实数t和k，使得，则，∴∵，∴，∴，，故 或 ，解得 即存在且t的取值范围为．22．（12分）已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求与夹角的大小；(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．【解析】（1）因为半圆的直径，由题易知：又，.又，，则，，即.（2）由（1）知，，，所以.设与夹角为，则，又因为，所以，即与的夹角为.（3）设，由（1）知，，，，所以，又因为，所以当时，有最小值为，此时点的坐标为.