10.1 两角和与差的三角函数（六大题型）-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）
展开10．1 两角和与差的三角函数
【题型归纳目录】
题型一：两角和与差的正（余）弦公式
题型二：两角和与差的正切公式
题型三：给角求值
题型四：给值求值
题型五：给值求角
题型六：两角和与差的正切公式的综合应用
【知识点梳理】
知识点一：两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．
（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．
知识点二：两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则．
（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．
知识点三：两角和与差的正切函数
知识点诠释：
（1）公式成立的条件是：，或，其中；
（2）公式的变形：
（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
（4）公式对分配律不成立，即．
知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．
2、重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：
；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．
【典型例题】
题型一：两角和与差的正（余）弦公式
【方法技巧与总结】
已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．
例1．（2023·浙江省杭州第九中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江西九江·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·山东临沂·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）=（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·四川成都·高一期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）化简的值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：两角和与差的正切公式
【方法技巧与总结】
公式的变形应予以灵活运用．
例4．（2023·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则__________.
例5．（2023·高一课时练习）化简：______．
例6．（2023·广东广州·高一校考期末）若是方程的两个根，则（ ）
A． B．1 C． D．2
变式4．（2023·甘肃兰州·高一期末）（ ）
A． B．1 C． D．
变式5．（2023·四川成都·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
题型三：给角求值
【方法技巧与总结】
在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
例7．（2023·全国·高一课时练习）的值为（ ）
A．0 B． C． D．
例8．（2023·全国·高一课时练习）计算：（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·江苏镇江·高一期末）计算：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式6．（2023·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高一期中）（ ）
A．1 B． C． D．2
变式7．（2023·江苏·昆山经济技术开发区高级中学高一期中）（ ）
A． B． C．1 D．
题型四：给值求值
【方法技巧与总结】
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①；②；③；④．
例10．（2023·四川省内江市第六中学高一期中（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·全国·高一课时练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·全国·高一课时练习）已知，，且，，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
变式8．（2023·甘肃·卓尼县柳林中学高一期末），则（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2023·四川·成都七中高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：给值求角
【方法技巧与总结】
解决三角函数给值求角问题的方法步骤
（1）给值求角问题的步骤．
①求所求角的某个三角函数值．
②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．
（2）选取函数的原则．
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
例13．（2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C．或 D．或
例14．（2023·江苏·金沙中学高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
例15．（2023·陕西·西安中学高一期中）若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2023·全国·高一专题练习）设，则的大小是（ ）
A． B． C． D．或
变式11．（2023·全国·高一课时练习）已知，均为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：两角和与差的正切公式的综合应用
【方法技巧与总结】
当化简的式子中出现“”与“”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．
例16．（2023·全国·高一课时练习）在中，，，则角（ ）
A． B． C． D．
例17．（2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
例18．（2023·四川成都·高一期末（文））（ ）
A． B． C． D．
变式12．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）若A，B，C是△ABC的三个内角，且，是方程的两个实根，那么△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均有可能
变式13．（多选题）（2023·山东·高一山东师范大学附中校考期末）在斜三角形中，的三个内角分别为，，，若，是方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C． D．
变式14．（2023·高一课时练习）可以验证；
不论取何值，；
请推广到一般的结论：_______________________________________________．
变式15．（2023·高一课时练习）设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大．（精确到0.01米）
【同步练习】
一、单选题
1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东临沂·高一校考期末）（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·重庆北碚·高一统考期末）若，都是锐角，且，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2023·高一课时练习）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．（2023·全国·高一专题练习）已知α、β为锐角，且，，则sinβ的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·高一课时练习）若为锐角，且，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（ ）
A． B．76cm C．94cm D．
二、多选题
9．（2023·广东广州·高一西关培英中学校考期末）(多选)下列式子结果为的是（ ）
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C． D．
10．（2023春·辽宁·高一校联考期中）若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·山东日照·高一校联考期中）下列各式中值为的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·高一课时练习）在锐角三角形中，，则下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2023·高一课时练习）已知，是方程的两根，，，则______．
14．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若，且，，则______.
15．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知，则的值为____．
16．（2023·江苏苏州·高一统考期末）已知，则的值为______．
四、解答题
17．（2023·河南安阳·高一统考期末）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．（2023·吉林·高一吉林省实验校考期末）已知，且为第二象限角，
(1)求，的值；
(2)若，求的值．
19．（2023春·湖南永州·高一永州市第四中学校考开学考试）已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
20．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知．
(1)若是的一个内角，且，求的值；
(2)已知，，，求的值．
21．（2023·北京·高一北京师大附中校考期末）（1）已知都是锐角，，，求；
（2）求；
（3）若，求.
22．（2023·重庆北碚·高一统考期末）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件___________.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
