华师大版八年级下册第17章 函数及其图象17.4 反比例函数2. 反比例函数的图象和性质教学设计

17.4.2反比例函数的图像和性质

知识技能目标

1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；

2.利用反比例函数的图象解决有关问题．

过程性目标

1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；

2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题．

1.重点、难点

重点:由反比例函数图象探索反比例函数的性质.

难点:反比例函数性质的灵活运用.

教学过程

一、创设情境

上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质．

二、探究归纳

1.画出函数的图象．

分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．

解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．

3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．

提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？

学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）．

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．

1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？

2.反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？

3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？

反比例函数有下列性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

注 1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；

2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．

以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？

在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少．

在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．

三、实践应用

例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．

分析 由反比例函数的定义可知： ,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．

解 由题意，得  解得．

例2 已知反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y＝kx－k的图象经过的象限．

分析 由于反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．

解 因为反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限．

例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．

(1)求这个函数的解析式，并画出图象；

(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

解 (1)设：反比例函数的解析式为：(k≠0)．

而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．

所以，k＝－2．

即反比例函数的解析式为：．

(2)点A(－5,m)在反比例函数图象上，所以，

点A的坐标为．

点A关于x轴的对称点不在这个图象上；

点A关于y轴的对称点不在这个图象上；

点A关于原点的对称点在这个图象上；

例4 已知函数为反比例函数．

(1)求m的值；

(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？

(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．

解 (1)由反比例函数的定义可知： 解得，m＝－2．

(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．

(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，

所以当x＝时，y最大值＝；

当x＝－3时，y最小值＝．

所以当－3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为．

例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．

(1)写出用高表示长的函数关系式；

(2)写出自变量x的取值范围；

(3)画出函数的图象．

解 (1)因为100＝5xy,所以 ．

(2)x＞0．

(3)图象如下：

说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．

1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．

2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.