2022-2023学年福建省厦门外国语学校高一上学期期末数学冲刺卷试题（A）含解析

2022-2023学年福建省厦门外国语学校高一上学期期末数学冲刺卷试题（A）

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用数轴画出图像，取并集即可.

【详解】依题意，画出数轴，如图所示，

由数轴可知：，

故选：B.

2．已知函数，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据函数解析式可知：，因为，代入进而求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，

则有，

又，所以，

故选：.

3．“”是“” 的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】解分式不等式，得到，从而判断出“”是“” 充分不必要条件.

【详解】变形为，即，解得：，

因为，当，

故“”是“” 充分不必要条件.

故选：A

4．设，，，则的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以0和1为桥梁，分别比较与0，1的大小关系，即可得到答案.

【详解】因为，所以；

因为，所以；

因为，所以.

所以.

故选：A

5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；

【详解】解：设圆的半径为，则，，

由勾股定理可得，即，

解得，所以，，

所以，因此.

故选：B

6．三个数中，值为负数的个数有个（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】计算出题目中角度的终边所在象限，根据三角函数的性质确定符号即可.

【详解】 ；

，

；

，

；

只有一个负数，故选：B.

7．若函数的值域是，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对勾函数的单调性求值域.

【详解】令，则，

由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，

故当时，取得最小值，最小值为，

又当时，，当时，，

故的值域为.

故选：B

8．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（    ）

A． B．函数不是周期函数

C． D．函数在上不是单调函数

【答案】B

【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，

对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，

对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，

故选：B

二、多选题

9．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

不妨令,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

10．对于实数，，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则；

B．命题“，”的否定是“，；

C．若，，则；

D．若，且，则的最小值为

【答案】AC

【解析】根据不等式的性质，可判断A的正误；根据含一个量词的命题否定的定义，可判断B的正误；利用作差法可比较和的大小，可判断C的正误；根据对数的性质，结合基本不等式，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：因为，所以，左右同除，可得，故A正确；

对于B：命题“，”的否定是“，，故B错误；

对于C：因为，，所以，所以，故C正确；

对于D：因为，且，所以，即，

所以，解得，

所以，

当且仅当，即时等号成立，与矛盾，

所以， 无最小值，故D错误.

故选：AC

【点睛】解题的关键是熟练掌握不等式的性质，并灵活应用，易错点为：在应用基本不等式时，需注意取等条件，即当且仅当“”时等号成立，若不满足，则基本不等式不能取等号，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

11．若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】CD

【分析】由题意可得，从而可得所以当时，，又因为，所以必有成立，结合选项，即可得答案.

【详解】解：因为，

所以当时，即，，

又因为，

所以，

所以的可能取值为.

故选：CD.

12．已知函数满足，又的图象关于点对称，且，则（    ）

A．关于对称 B．

C．关于点对称 D．关于点对称

【答案】AC

【分析】对于A，将代入中可求得，然后进行判断，对于B，由的图象关于点对称和选项A，可得的周期，从而可求得结果，对于CD，由函数图象变换结合对称判断.

【详解】对于A，将代入，得，解得，

所以，所以的图象关于对称，所以A正确，

对于B，因为的图象关于点对称，

所以的图象关于点对称，所以，，

因为，所以，

所以，

所以，所以的周期为8，

所以，

，

，

所以，所以B错误，

对于CD，因为的图象是由的图象向右平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到，

再将其向上平移3个单位可得的图象，

所以的图象关于点对称，所以C正确，D错误，

故选：AC

三、填空题

13．__________.

【答案】

【分析】根据对数的运算、指数的运算求解即可.

【详解】.

故答案为：.

14．函数的单调递增区间是__________.

【答案】

【分析】整体法求解的单调递减区间即可.

【详解】的单调递增区间，即的单调递减区间，

令，

解得：，

故的单调递增区间为.

故答案为：

15．在一段时间内，某地的某种动物快速繁殖，此动物总只数的倍增期为18个月，那么100只野兔增长到10万只野兔大概需要__________年.

【答案】15

【分析】根据题意列出指数方程，利用对数运算计算出结果.

【详解】由题意得：设100只野兔增长到10万只野兔大概需要年，

则，解得：，

两边取对数，，

因为，

所以.

故答案为：15

16．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为__________.

【答案】

【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】

，由解得.

画出的图象如下图所示，

令，

由图象可知与有两个公共点时，或；

与有一个公共点时，；

与有三个公共点时，.

依题意，的零点个数为4，

对于函数，由于，

的两个零点，全都在区间或区间，或一个在区间一个在区间，

所以或或，

解得或或，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.

四、解答题

17．已知幂函数在上是减函数

(1)求的解析式

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性列式运算求解；

（2）根据幂函数的单调性列式运算求解，注意幂函数的定义域.

【详解】（1）由题意可得，解得，

故.

（2）由（1）可知：的定义域为，

由，则，解得，

∵幂函数在上是减函数，则，解得，

∴a的取值范围为.

18．已知

(1)化简

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；

（2）根据已知求得，利用同角三角函数关系，齐次化，弦化切，化简即可求得原式的值.

【详解】（1）由已知，

所以.

（2）由（1）知，所以，

所以

.

19．设函数．

(1)若函数有两个零点，求m的取值范围；

(2)若命题：x∈R，y≥0是假命题，求m的取值范围；

(3)若对于，恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）根据函数有两个零点，得到方程有两个不同的实数根，然后得到，解方程即可；

（2）根据命题：，是假命题，得到，是真命题，然后分类讨论和两种情况，列方程求解即可；

（3）利用分离参数的方法，把对于，恒成立转化为，利用函数单调性求最小值即可.

【详解】（1）因为函数有两个零点，所以方程有两个不同的实数根，所以，解得或.

（2）若命题：，是假命题，则，是真命题，即在上恒成立，

当时，，成立；

当时，，解得；

综上所述，的取值范围为.

（3）若对于，恒成立，即在上恒成立，

则在上恒成立，故只需即可，

因为函数在上递增，上递减，，，，所以，故.

20．已知实数，，且

(1)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值；

(2)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值.

【答案】(1)最小值为，此时

(2)最小值为4，此时.

【分析】（1）变形得到，利用基本不等式“1”的妙用，求出最小值及此时的值；

（2）变形得到，利用得到关于，求出的最小值及此时的值.

【详解】（1）时，，

因为，

所以，

故，

当且仅当，即时，等号成立，

（2）时，，

变形为，即，

，

其中，

故，

因为，解得：，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为4，此时.

21．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合，其函数图像如图所示，其中V为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600)，为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度.

（1）求出函数的解析式；

（2）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48)

【答案】（1）；（2）所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射；所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.

【解析】（1）根据图象可知，两个点，在函数图象上，代入后求解参数，求；（2）由（1）求中的范围；求得后，再求中的范围.

【详解】（1）由条件可知，，由图象可知点，在函数图象上，

则 ，两式相除得，

解得：，，

所以函数 ；

（2），得，

解得：，

所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射；

，由题意可知 ，

，当，得，

即

得，

解得：，

所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够读懂题意，并根据题意，通过代点的方法求两个函数的解析式，第二个关键就是计算，本题的计算要求比较高，注意指对运算技巧.

22．已知函数，，从下面两个条件中任选一个条件，求出，的值，并解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数，在定义域上为偶函数；②已知函数在上的值域为；

(1)选择______，求，的值；

(2)证明在上单调递增；

(3)解不等式.

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；

（2）利用单调性的定义即证；

（3）利用奇函数的定义可得为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.

【详解】（1）选①：因为在上是偶函数，

则，且，

所以，；

选②：当时，在上单调递增，

则有，

得，；

（2）由①或②得，，任取，且，则

∵，则，，

∴，即

则在上单调递增.

（3）∵，，

又，

∴为奇函数，

由，得，

又因为在上单调递增，

则，解得，

所以.