2022-2023学年吉林省长春市第八中学高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年吉林省长春市第八中学高一上学期期末数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】利用扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，由题意得，得.
故选：C.
2．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】应用排除法，结合函数的奇偶性及即可确定函数大致图象.
【详解】由知：是奇函数，排除B、C.
由，排除A.
故选：D.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由可以得到，但是反向推导不成立，故可以得到答案.
【详解】由可以得到，但是由，得或.
故选：A.
4．若函数，且的图象过定点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据对数函数且过定点代入求解即可.
【详解】依题意，函数且过定点，则.
故选：C.
5．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，
所以，
故选：D
6．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】配方后利用正弦函数的值域和二次函数知识可求出结果.
【详解】函数，
∵，
∴当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为2，
故函数的值域为，
故选：A．
7．已知都是锐角，且，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．
【详解】因为都是锐角，且，
所以

又
故选B.
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
8．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由，求得，由是奇函数，求得，再利用求得，然后再在上没有最小值，利用函数图像求得结果即可.
【详解】由，可得
因为是奇函数
所以是奇函数，即
又因为，即
所以是奇数，取k=1，此时
所以函数
因为在上没有最小值，此时
所以此时
解得.
故选D.
【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，利用条件求得函数的解析式是解题的关键，属于较难题.
二、多选题
9．若函数，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项函数的奇偶性即可.
【详解】，故是奇函数，A错误.
，故是偶函数，B正确.
，故是偶函数，C正确.
，故是偶函数，D正确.
故选：BCD.
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】由不等式的性质逐项判断即可得解.
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，所以，所以，故C错误；
对于D，，则，所以，故D正确.
故选：ABD.
11．已知函数，则有关函数的说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称D．的最大值为
【答案】AB
【分析】根据三角恒等变换化简的表达式，即，将和代入验证可判断;由三角函数周期公式求得的最小正周期，判断B;求得函数最大值，判断D.
【详解】由题意可知,
当时， ，，故函数的图象关于点对称，故A正确；
函数的最小正周期，故B正确；
当时, ，,所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
函数的最大值为1，故D错误,
故选:.
12．函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的单调递减区间为（）
D．图象的对称轴方程为（）
【答案】AD
【分析】由图知且求，根据五点法求参数，即可得的解析式，再由正弦型函数的性质求递减区间、对称轴方程，即可判断各选项的正误.
【详解】由图可得：且，
∴，则，A正确.
由，则（），得（），即，B错误.
综上，有，
由，（），得（），C错误.
由（），得（），D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】3
【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.
【详解】设，由于图象过点,
得，
，
，故答案为3.
【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
14．的值为___________．
【答案】
【分析】由三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式代入即可得出答案.
【详解】．
故答案为：.
15．____________．
【答案】
【分析】由正切的差角公式，可得，经过等量代换与运算可得答案.
【详解】
．
故答案为：.
16．的值为________．
【答案】
【分析】根据两角和的正弦公式即可求出．
【详解】原式．
故答案为：
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知.求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由诱导公式及两角差的正弦公式化简求值即可；
（2）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可.
【详解】（1）；
（2）.
18．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求使函数取得最大值时自变量的集合.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式、降幂公式和辅助角公式可得，再根据周期公式可求的最小正周期；
（Ⅱ）令后解出可得取得最大值时自变量的集合.
【详解】
.
（Ⅰ）周期.
（Ⅱ）当时，解得，，所以最大值是，
此时使函数取得最大值时自变量的集合.
【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的最值、单调区间、对称轴方程和对称中心等．
19．设，且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由函数值可求得参数值，由真数大于0可得定义域；
（2）把函数式变形为，然后确定函数的单调性，从而得最小值．
【详解】（1）由得，解得，
由得，因此，函数的定义域为；
（2）由（1）得，
令，由得，
则原函数为，，由于该函数在上单调递减，
所以，因此，函数在区间上的最小值是.
【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）
20．已知.
（1）求的值；
（2）若求的值.
【答案】（1）.
【解析】（1）先化简已知得，即得的值；（2）求出即得解.
【详解】（1）.所以.
（2）因为
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，关于的方程恰有4个不同的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简得出，令即可求出单调递增区间；
（2）方程化为和共有4个不同的解，即与的图象在各有两个交点，数形结合即可求出.
【详解】（1）
，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）由可解得或，
方程有4个不同的实数根，即和共有4个不同的解，
即和共有4个不同的解
当时，，
因为与的图象在有两个交点，所以与的图象在有两个交点，
所以且，解得且，
即的取值范围为.
22．已知，，为实数，
(1)当时，求函数的最大值；
(2)求函数的最大值的解析式；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）利用对数运算性质化简即可；
（2）利用对数的运算性质化简，再根据一元二次函数对称轴的位置分类讨论求最大值即可；
（3）对任意恒成立，仅需即可，原问题转化为求的最小值.
【详解】（1）当时，
因为，所以当时取得最大值，
的最大值为.
（2），
令，，
所以二次函数的对称轴为，
①当即时，时取最大值，；
②当即，时取最大值，；
③当即时，时取最大值，，
综上.
（3）对任意恒成立，仅需即可，
由（2）得，
当时，的对称轴为，所以，
当时，单调递减，所以，
综上，
所以.
增
增
增
减
增
减
减
增
减
减
减
增