2022-2023学年新疆生产建设兵团第二中学高一上学期期末考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年新疆生产建设兵团第二中学高一上学期期末考试数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 Ⅰ 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解二次不等式得出集合，然后利用集合交集运算得出集合，最后判断元素与集合间的关系.
【详解】由，
又，
所以，
所以，故选项A错误，
，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D错误，
故选：B.
2. 设命题则命题 p 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，
命题 p 的否定为.
故选：B.
3. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：．
故选：A．
4. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】AD选项不是奇函数，B选项不满足在上单调递增，C选项满足要求.
【详解】，故不是奇函数，A错误；
为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
，在上单调递增，且定义域为R，，故为奇函数，满足要求，C正确；
定义域为R，且，故不是奇函数，D错误.
故选：C
5. 已知角终边上一点，则（ ）
A. 2B. -2C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过坐标点得出角的正切值，化简式子，即可求出结果.
【详解】解：由题意，
角终边上一点，
∴
∴，
故选：B.
6. 命题“， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. a  2B. a  3C. a  5D. a  5
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的性质，结合任意性的定义进行求解即可.
【详解】由，
因为，所以，要想该命题为真命题，只需，
由选项AB推出不出，由不一定能推出，
因此四个选项中只有C符合充分不必要的性质，
故选：C
7. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由弧长比可得,结合扇形面积公式得答案.
【详解】因为，所以，
又因为，，
所以，所以.
故选:
8. 下列大小关系中错误的是（ ）
A. 9 1.5  3 2.7B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得9 1.5、 3 2.7大小关系判断选项A；求得大小关系判断选项B；求得大小关系判断选项C；求得大小关系判断选项D.
【详解】选项A：由为R上增函数，可得，则9 1.5  3 2.7.判断正确；
选项B：由为上增函数，可得；
由为R上减函数，可得，则.判断正确；
选项C：由为上增函数，可得，
由为上增函数，可得，
则.判断错误；
选项D：由为R上增函数，可得，
由为R上减函数，可得，
则.判断正确；
故选：C
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 第二象限的角必大于第一象限的角B. 角度72化为弧度是
C. cs2  0D. 若sin  sin ，则 与 为终边的相同的角
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例否定选项A；利用角度与弧度的互化判断选项B；利用2所在的象限判断选项C；利用三角函数定义判断选项D.
【详解】第二象限的角，第一象限的角，但是.故选项A判断错误；
角度72化为弧度是.故选项B判断正确；
由，可得2为第二象限角，则cs2  0.故选项C判断正确；
若sin  sin ，则 与  的终边相同或 与  的终边关于y轴对称.
故选项D判断错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 图象关于点成中心对称
C. 的最大值为
D. 幂函数在上为减函数，则的值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，函数的定义域为，
所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.
B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.
C选项，，所以，
即的最小值为，C选项错误.
D选项，是幂函数，
所以，解得或，
当时，，上递减，
当时，，在上递增，
所以D选项正确.
故选：BD
11. 函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. 直线是函数图像的一条对称轴
B. 函数的图像关于点对称
C. 函数的单调递增区间为
D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期，有，
由得：，而，则，，
对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；
对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，由得：，
则函数的单调递增区间为，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
12. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 为奇函数
C. 在上为减函数
D. 方程仅有6个实数解
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性以及特值可以得到，选项A正确；利用函数奇偶性可以得到函数的周期性选项B正确；利用函数奇偶性以及周期性得出函数图象可得选项C错误；通过数形结合可选项D正确.
【详解】对于选项A：为偶函数，故，令得：，
又为奇函数，故，令得：，其中，
所以，
故选项A正确；
对于选项B：因为为奇函数，所以关于对称，
又为偶函数，则关于对称，所以周期为，
故，所以，
从而为奇函数，
故选项B正确；
对于选项C：在上单调递增，又关于对称，所以在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，
故选项C错误；
对于选项D：根据题目条件画出与的函数图象，如图所示：
其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程仅有6个实数解，
故选项D正确.
故选：ABD
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知幂函数的图象过点，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设，过点可得：
考点：求幂函数的解析式
14. 已知函数 是定义在 R 上的奇函数（其中实数 m  0) ．则实数 m =______
【答案】1
【解析】
【分析】利用求出m再检验即可
【详解】函数 是定义在 R 上的奇函数，
所以，解得，所以，
且，
满足是定义在R上的奇函数，故.
故答案为：.
15. 化简： ________.
【答案】－1
【解析】
【详解】原式)(
.故答案为
【点睛】本题的关键点有：
先切化弦，再通分；
利用辅助角公式化简；
同角互化.
16. 已知函数 在 上单调递增，则的最大值是____.
【答案】4
【解析】
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】由函数在区间上单调递增，
可得 ，求得，故的最大值为，
故答案为：4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
（1）计算
（2）已知， 求的最小值．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算、对数的运算可得答案；
（2）由可得，再由基本不等式可得答案.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当即时取得最小值为．
18. 已知是定义域为的奇函数，当 时，．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性(无需证明)，并解关于t 的不等式：．
【答案】（1）
（2）函数在上单调递增，不等式的解集为
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）结合函数的奇偶性以及指数函数的知识判断出的单调性，再根据奇偶性和单调性求得不等式的解集.
【小问1详解】
依题意是定义域为的奇函数，
当时，，
所以，
所以.
【小问2详解】
当 时，，
所以在区间上单调递增，
而是定义域为的奇函数，所以在区间上单调递增，
由，
得，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
19. 已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由于，所以代值求解即可；
（2）由求出的值，从而可求出的值，而，进而可求得结果
【详解】（1）
（2）因为为锐角，所以，，
又，所以，
，
又，
所以
因为，所以.
20. 某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于日产量x（单位：个）满足函数：.
（1）将利润（单位：元）表示成日产量x的函数；
（2）当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）
【答案】（1）
（2）当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元
【解析】
【分析】（1）根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润的解析式；
（2）结合（1）中的解析式，分讨讨论的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性，求得的最值，同时得到相应的值.
【小问1详解】
根据题意，
当时，，
当时，，
所以.
小问2详解】
当时，，
所以当时，；
当时，易知是减函数，
所以；
综上：当时，，
所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元.
21. 已知函数 f (x)  2cs 2 x  2sin x cs x 1
（1）求函数 f (x) 的最小正周期和对称中心；
（2）将函数 f (x) 的图象向左平移单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的 g(x) 图象，求 y  g(x) 在上的值域．
【答案】（1）最小正周期；对称中心为；
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简函数 f (x) 的解析式，利用周期公式即可求得函数 f (x) 的最小正周期，再利用整体代入法即可求得函数 f (x) 的对称中心；
（2）先求得函数的 g(x) 的解析式，再利用正弦函数的性质即可求得y  g(x)在上的值域．
【小问1详解】
f (x)  2cs 2 x  2sin x cs x 1
则函数 f (x) 的最小正周期；
由，可得，
则函数 f (x) 对称中心为
小问2详解】
将函数的图象向左平移单位长度，
所得图象的解析式为
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的 g(x) 图象，则，
由可得，，则，
则，则y  g(x) 在上的值域为．
22. 已知函数 (其中  0)
（1）对x1，x2  R，都有 f (x1)  f (x)  f (x2 )，且 ，求 f (x) 的单调递增区间；
（2）已知 0＜ω＜5，函数 f (x) 图象向右平移个单位，得到函数 g(x) 的图象， x 是 g(x) 的一个零点，若函数 g(x) 在，且m  n) 上恰好有 10 个零点， 求 n  m 的最小值；
（3）已知函数(其中a  0) ，在第（2）问条件下，若对任意 ， 存在，使得 成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得的解析式，进而求得f (x) 的单调递增区间；
（2）先求得的解析式，再求得函数 g(x)的零点，进而求得n  m 的最小值；
（3）先分别求得、在上值域，再利用集合间的关系列出关于实数 a 的不等式，解之即可求得实数 a 的取值范围．
【小问1详解】
对x1，x2  R，都有 f (x1)  f (x)  f (x2 )，且 ，
则的最小正周期为，由，可得，则.
由，可得，
则f (x) 的单调递增区间为；
【小问2详解】
函数 f (x) 图象向右平移个单位，得到函数 g(x) 的图象，
则，又x 是 g(x) 的一个零点，
则，即
则，或
即，或，又0＜ω＜5，则，
则.
又函数 g(x) 在，且m  n) 上恰好有 10 个零点，
则，或，
解之得或，
则在一个周期内有二个零点0和
则的最小值为
【小问3详解】
由（2）可得，
当时，，则，
则，则在上值域为
又(其中a  0) ，
当时，，则，
则，
则在上值域为
若对任意，存在，使得 成立，
则，则，解之得
则实数 a 的取值范围为．
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．