2022-2023学年福建省福州第一中学高一上学期第一学段模块考试数学试题含解析

  福州一中2022-2023学年第一学期第一学段模块考试

高一数学学科

（完卷120分钟 满分150分）

座号______姓名______班级______

一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合或，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的运算直接求解.

【详解】，所以，

故选:B.

2. 命题“，”的否定是（       ）

A.  B. ，

C.  D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，

故命题“，”的否定是“”.

故选：C

3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据抽象函数定义域求法，即可求其定义域.

【详解】设，则，

因为函数的定义域为，所以当时，有意义，所以，故当且仅当时，函数有意义，所以函数的定义域为，由函数有意义可得，所以，

所以函数的定义域为，

故选：B.

4. 设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数的定义即可判断.

【详解】，

对于选项A，，因为，

所以是偶函数，A正确；

对于选项B，，因为，，

所以不偶函数，B错误；

对于选项C，，因为，，

所以不是偶函数，C错误；

对于选项B，，因为，，

所以不是偶函数，D错误；

故选：A

5. 核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（    ）

(参考数据：，)

A. 0.369 B. 0.415 C. 0.585 D. 0.631

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，代入，解方程即可.

【详解】由题意知，，

即，

所以，解得.

故选：C.

6. 函数的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数解析式，研究其奇偶性以及特殊函数值的大小，可得答案.

【详解】由，则该函数的定义域为，

将代入该函数，可得，

故该函数为偶函数，则C、D错误，

将代入函数，可得，故A错误，B正确.

故选：B.

7. 若，则它们的大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用分段法，结合指数、对数的知识确定正确答案.

【详解】，

.

由于，所以，

所以，即，

所以.

故选：D

8. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由等式可化为，考虑构造函数，研究其单调性，结合函数单调性化简方程，可得结论.

【详解】因为是方程的实根，所以，

所以，，所以，

又可化为，设，，则原方程可化为，

又函数，在都为增函数，且其函数值都大于0，,所以函数在上单调递增，

所以，所以，

故选：B.

【点睛】问题解决的关键在于根据方程的结构构造函数，利用函数的性质化简方程研究其解.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用对数的运算性质和基本等式求解即可.

【详解】由得，所以，B正确；

，

由于，所以等号不成立，即，A正确；

，C错误；

，

D正确，

故选:ABD.

10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 若在上有最大值1，则在上有最小值

C. 若在上为增函数，则在上为减函数

D. 若时，，则时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据奇函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，是定义在上的奇函数，

所以，A选项正确.

B选项，奇函数的图象关于原点对称，

所以若在上有最大值1，则在上有最小值，B选项正确.

C选项，奇函数的图象关于原点对称，在轴两侧单调性相同，

所以若在上为增函数，则在上为增函数，C选项错误.

D选项，时，，

当时，，

所以，D选项正确.

故选：ABD

11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A. 当时，不等式的解集为

B. 当时，不等式的解集可以为的形式

C. 不等式的解集恰好为，那么或

D. 不等式的解集恰好为，那么

【答案】AD

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法判断A，作函数以及和的图象，结合条件及图象判断B；由条件先确定的范围，再根据不等式的解法求出的值，即可判断C，D.

【详解】对于选项A：由，可得，方程的判别式，又，所以，所以不等式的解集为，所以不等式的解集为，故A正确；

对于选项B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点，

由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误；

对于选项C：由不等式的解集恰好为，可知，即，

所以和是方程的两根，从而有，解得或，又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误；

对于选项D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确．

故选：AD．

12. 定义在上的偶函数满足，当时，，定义在上的奇函数满足，当时，，已知函数在区间上有5个零点，则以下为实数可能取值的有（    ）

A. 0 B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】结合函数的对称性、单调性、周期性、奇偶性作出函数的图象，根据数形结合可得函数在区间上有5个交点，作出图象，列出不等式即可求解.

【详解】由得的图象关于对称，

又因为为偶函数，且，

所以，所以以4为周期，

作图如下：

因为为奇函数，

且时，，

即时，，

且，所以以6为周期，

则只用考虑函数在的图象与图象交点的个数，

注意到，，

所以在区间上有一个零点为，

所以函数在的图象与图象在时有4个交点，

若，则时，，

则函数在分别和的图象有2,1,0个交点，

所以此时函数在区间上有4个零点，

若，则时，单调递减，

则函数在分别和的图象有2,1,0个交点，

所以此时函数在区间上有4个零点，

若，则时，单调递增，

要使函数在区间上有5个零点，

则函数在分别和的图象有1,2,1个交点，

则，

又因为，

所以，解得，

结合选项可知，

故选:BC.

【点睛】方法点睛：此题考查函数的奇偶性和周期性，解题过程中将零点个数问题转化为函数图象交点问题，数形结合，即可求解.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 计算：______.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数和对数运算求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

14. 已知必要不充分条件是或，则实数的最大值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】首先解不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解；

【详解】由，得或，

因为的必要不充分条件是“或”，

所以，解得，所以实数a的最大值为1；

故答案为：

15. 已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】由及，可得函数为奇函数，根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.

【详解】因为函数对任意的，有，又，

则，

所以函数为奇函数，

因为在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，又函数为奇函数，

所以在区间上单调递增，

所以不等式，可化为，

所以，解得，

故答案为：.

16. 若三个正数满足，则的最小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意为正数，，

所以

，

当且仅当，

，时等号成立.

故答案为：

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，函数定义域为集合.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）的取值范围是．

【解析】

【分析】（1）化简集合,根据集合的运算法则求；

（2）由已知可得，进而分，转化条件列不等式求的取值范围．

【小问1详解】

由已知当时，，

函数有意义，则，得，

则，

又或，则；

【小问2详解】

因为，所以，

分2种情况讨论：

①当时，有，解可得，

②当时，

若有，必有，满足条件的不存在，

综上可得：的取值范围是．

18. 已知函数.

（1）若函数的值域为，求实数的值；

（2）当时，函数的最大值为2，求实数的值.

【答案】（1）或   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的值域列方程，从而求得的值.

（2）根据二次函数的对称轴进行分类讨论，结合在区间上的最大值求得.

【小问1详解】

函数的开口向下，

若函数的值域为,

则，

解得或.

【小问2详解】

函数的开口向下，对称轴为，

当，时，在区间上的最大值为，

解得.

当时，在区间上的最大值为

，，，

由于，所以方程无解.

当时，在区间上的最大值为

，解得.

综上所述，的值为或.

19. 已知且.

（1）设的定义域为，若区间，求时，的值域；

（2），使得不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）时，函数的值域为   

（2）的取值范围.

【解析】

【分析】(1)求函数的定义域，判断函数在上的单调性，结合单调性求值域；

(2)讨论，化简不等式，由不等式有解列不等式求的取值范围.

【小问1详解】

由有意义可得，

①当时，，所以函数的定义域为，

设，则，因为函数在上为增函数，所以，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，由知在上单调递减，

②当时，，所以函数的定义域为，

设，则，因为函数在上为减函数，所以，又函数在上单调递增，所以在上单调递减，由知在上单调递减，

综上所述，当且时，函数在上为减函数，

所以当时，，

所以时，函数的值域为

【小问2详解】

不等式可化为，

当时，，所以，与已知矛盾，

当时，，所以，由已知，满足不等式，若，则或，解得或，故，

所以的取值范围.

20. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补贴企业在收到政府（万元）补贴后，当补贴小等于5万元时，产量将维持在6万件不变，当补贴超过5万元时，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本）

（1）求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；

（2）当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】（1）   

（2）当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大.

【解析】

【分析】（1）对进行分类讨论，由收益=销售金额+政府专项补贴-成本求得.

（2）结合基本不等式求得正确答案.

【小问1详解】

当时，.

当时，.

所以.

【小问2详解】

由（1）得：当时，.

当时，，

当且仅当时，等号成立，

，所以当政府的专项补贴为万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大.

21. 已知函数.

（1）若函数是偶函数，且不等式在上有解，求的取值范围；

（2）若，且函数恰有一个零点，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据为偶函数可求出，再利用参变分离法求的取值范围； (2)换元法，将函数由1个零点转化为方程由1个根，根据为偶函数，则函数的零点成对出现，所以要使方程只有1个根，则,进而可求解.

【小问1详解】

因为

所以

为偶函数，所以即，

所以，

令，则，

不等式等价于，

即有解，

因为，所以，

因为所以当时，函数有最小值为，

所以.

【小问2详解】

，，

令，则，

方程

等价于，即，

也即，

又因为方程有一个根，

所以有一个根，且根为，

（因为为偶函数，所以如果方程的根没有2，

则方程的根的个数为偶数，与题意矛盾），

所以解得.

22. 对于函数.

（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围.

【答案】（1）实数取值范围为；   

（2）的取值范围为.

【解析】

【分析】（1）由题可得有且仅有一个解，分类讨论可得；

（2）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.

【小问1详解】

因为函数恰有一个零点，

所以方程有且仅有一个根，

所以有且仅有一个根，

由①可得，，即，

当时，方程有唯一解，满足②，

所以符合条件；

当时，方程有两相等解，满足②，

所以符合条件；

当且时，方程有两不等解，

若满足②，则，

若满足②，则，

所以当时方程恰有一个实根；

综上，实数的取值范围为；

【小问2详解】

令，则在上为减函数，在上为增函数，

所以函数在上为减函数，

当时，满足，

则，

∴，即对任意的恒成立，

设，又，又函数的图象的对称轴，所以函数在单调递增，

所以，

∴，

所以实数的取值范围为