2022-2023学年重庆市第八中学校高一（艺术班）上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年重庆市第八中学校高一（艺术班）上学期期中数学试题

一、单选题

1．正确表示图中阴影部分的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据图及集合的关系和运算判断.

【详解】由图及集合的关系和运算，通过韦恩图判断，下面四个图分别对应选项ABCD,

判断C正确.

故选：C.

2．命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】全称命题的否定：任意改存在且否定原结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以原命题的否定为：.

故选：C

3．“”是“函数在单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用幂函数的单调性结合充分性和必要性的定义求解即可.

【详解】由幂函数的性质可得当时，函数在单调递增，

所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件，

故选：C

4．已知函数，若，则（    ）

A． B． C．或2 D．或或

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式求解即可.

【详解】当时，由解得，

当时，由解得，

综上或2，

故选：C

5．设，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用作差法可得出、的大小关系.

【详解】因为，当且仅当时，等号成立，故.

故选：B.

6．设，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，代入数据，即可得答案.

【详解】因为指数函数在R上为单调递减函数，

所以，即b>c，

又幂函数在上为增函数，

所以，即a>b，所以a>b>c.

故选：D

7．已知，则的最小值为（    ）

A．4 B．

C． D．

【答案】C

【分析】将原式构造成两正数和的形式，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，且，

当且仅当即时取等号.

故选：C.

8．已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用偶函数的对称性结合单调性即可求解.

【详解】因为，

所以为偶函数，图像关于轴对称，

又因为当时，和单调递减，

所以在时单调递减，

因为，

所以满足，即，

展开可得，解得，

故选：C

二、多选题

9．若，则下列不等式中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据不等式的性质和函数的单调性判断.

【详解】,故A正确.

单调递增，故B正确.

单调递增，故D正确.

因为的符号不确定，故C不正确.

故选：ABD

10．已知定义在上的偶函数，它在上的图象如图所示，则该函数（    ）

A．有两个单调递增区间 B．有三个单调递减区间

C．在其定义域内有最大值7 D．在其定义域内有最小值

【答案】AC

【分析】根据题意补全函数的图象，进而观察图象求得答案.

【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示．由图象可知该函数有两个单调递增区间，两个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值．

故选：AC．

11．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.

【详解】将点(4,2)代入函数得：，则.

所以，

显然在定义域上为增函数，所以A正确.

的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.

当时，，即，所以C正确.

当若时，

=

=.

即成立，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，

12．函数的图象可能是　　

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，分、以及三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．

【详解】解：根据题意，

当时，，，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应，

故选：．

三、填空题

13．函数的定义域是______．

【答案】

【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答.

【详解】函数有意义，则有，解得或，

所以函数的定义域是.

故答案为：

14．设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是______．

【答案】8

【分析】根据已知条件写出中所有元素即可.

【详解】，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

,，；

,，；

根据集合元素的互异性可知中元素的个数是8，

故答案为：8

15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则当时， __________.

【答案】

【分析】根据奇函数满足,结合所给时的解析式,即可求得时的解析式.

【详解】令

则

因为当时,

所以

因为奇函数满足

所以

即

故答案为:

【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式,注意自变量的取值范围,属于基础题.

16．已知函数，若函数在上是单调的，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【分析】分析可知函数在上单调递增，根据二次函数的基本性质和分段函数的基本性质可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增，

所以，，且有，即，，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为24，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.

【答案】每个区域的长是米，宽是米时，彩带总长的最小，且最小值为，

【解析】先设每个区域的长和宽分别，，并由题意得到，彩带总长为，再利用基本不等式求的最小值，最后判断等号成立的条件并作答.

【详解】设每个区域的长和宽分别，，由题意有：，彩带总长为，

由基本不等式：，

当且仅当即，时，取等号，

所以每个区域的长是米，宽是米时，彩带总长的最小，且最小值为，

【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，是基础题

18．已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）先根据一元二次方程的解法求出集合，利用一次不等式的解法求出集合，再根据集合交集和并集的定义进行求解；

（2）根据是的必要不充分条件，可得，即可求出所求．

【详解】，，

（1）当时，，

则，；

（2）因为是的必要不充分条件，所以，则．

19．（1）化简

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）14

【分析】（1）利用分数指数幂进行运算即可；

（2）由题意可得到，接着进行平方即可求解

【详解】（1）；

（2），则

所以，

20．已知幂函数在上是单调递减函数.

(1)求的值；

(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由幂函数的单调性可得出关于的不等式，结合可求得实数的值；

（2）由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为幂函数在上是单调递减函数，

则，解得，，因此，.

（2）解：由（1）可得，对任意的，恒成立，

可得，

令，其中，则函数在上单调递减，

所以，，故.

21．重庆的锶矿资源非常丰富，其锶矿储量居全国第一．某科研单位在研发锶矿产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0x2时，y是x的指数函数；当2< x5时，y是x的二次函数．测得数据如下表（部分）：

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)求这种新材料的含量为何值时锶矿产品的性能达到最佳．

【答案】(1)；

(2)3.

【分析】（1）根据给定的数表，利用待定系数法求出解析式作答.

（2）分段求出函数的最值，再比较大小作答.

【详解】（1）当时，y是x的指数函数，设（a>0且），

由数表知，满足指数函数解析式，于是得，即当时，；

当时，y是x的二次函数，设（），

显然满足二次函数解析式，即，解得，

即当时，，

所以y关于x的函数关系式.

（2）当时，，则当x=2时，y取得最大值4，

当时，，则当x=3时，y取得最大值5，而

因此当x=3时， y取得最大值5，

所以这种新材料的含量为3时锶矿产品的性能达到最佳.

22．已知函数f（x）g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2•3x．

（1）证明：f（x）-g（x）=2•3-x，并求函数f（x），g（x）的解析式；

（2）解关于x不等式：g（x2+2x）+g（x-4）＞0；

（3）若对任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-4恒成立，求实数m的最大值．

【答案】（1）详见解析；（2）（-∞，-4）∪（1，+∞）；（3）3.

【分析】（1）根据偶函数和奇函数的定义，令-x代替x，即可求出f（x）-g（x）的解析式，再利用方程组求出f（x）、g（x）的解析式；（2）根据g（x）是定义域R上的增函数，把不等式化为x2+2x＞4-x，求出解集即可；（3）根据f（x）≥2把不等式化为，再构造函数，求出函数的最小值，即可求得实数m的最大值．

【详解】（1）证明：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）；

又f（x）+g（x）=2•3x，①

∴f（-x）+g（-x）=2•3-x，

即f（x）-g（x）=2•3-x，②

由①②求得函数f（x）=3x+3-x，

g（x）=3x-3-x；

（2）解：g（x）=3x-3-x是定义域R上的单调增函数，

所以不等式g（x2+2x）+g（x-4）＞0可化为g（x2+2x）＞-g（x-4）=g（4-x），

即x2+2x＞4-x，整理得x2+3x-4＞0，解得x＜-4或x＞1，

所以不等式的解集为（-∞，-4）∪（1，+∞）；

（3）解：对任意x∈R，函数f（x）=3x+3-x≥2=2，当且仅当x=0时取“=”；

所以不等式f（2x）≥mf（x）-4化为32x+3-2x≥m（3x+3-x）-4，

即m≤=；

设t=3x+3-x，则t≥2，

所以函数g（t）=t+在区间[2，+∞）上单调递增，

g（t）min=g（2）=2+1=3，即m≤3,

所以实数m的最大值为3．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性应用问题，考查不等式恒成立问题，是中档题．