2021-2022学年上海市格致中学高一下学期3月月考数学试题含解析

2021-2022学年上海市格致中学高一下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．若，则__．

【答案】

【分析】利用诱导公式化简，结合条件可得其值.

【详解】．

故答案为：.

2．在中，若，则角__．

【答案】

【分析】由正弦余弦三角函数关系得出正切值，再根据三角形中角的性质求出即可.

【详解】在中，因为，

所以，

又，

所以，

故答案为：.

3．若的最小值为，则实数的值为__．

【答案】

【分析】根据题意结合辅助角公式运算求解.

【详解】∵，由题意得，

所以．

故答案为：.

4．已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为_________.

【答案】

【详解】试题分析：由正切函数的定义,又由题设可知点在第四象限,所以.故应填.

【解析】三角函数的定义及运用．

5．设，若，则的取值范围是__．

【答案】

【分析】根据同角同角三角函数的基本关系和正余弦函数图象的性质即可求解.

【详解】因为，

所以，又因为，所以的取值范围是．

故答案为: .

6．若，则__（结果用表示）．

【答案】

【分析】根据题意利用倍角公式化成齐次式运算求解.

【详解】．

故答案为：.

7．当，时，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】由已知推出，，构造函数，利用函数的单调性可得出结果.

【详解】因为，，所以，，，

即，

因此，所以，

令，，

任取，则

，

因为，所以，，

因此，即，

所以函数在上单调递增，

所以，即的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.

8．函数的定义域为__．

【答案】

【分析】解不等式组，即可得函数的定义域.

【详解】由题意可得，所以，则或，

故定义域为．

故答案为：.

9．若，，是钝角三角形的三边，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据三边的大小关系可得：所对的角为钝角，利用两边之和大于第三边和两较小边的平方和小于最大边的平方列不等式组，解之即可求解.

【详解】因为，所以三边中最大，

由题意可知：所对的角为钝角，

所以，解得：，

所以的取值范围，

故答案为：.

10．已知矩形内接于半径为1的半圆内，点和点在半圆弧上，点和点在直径上，则矩形周长的最大值为__．

【答案】

【分析】利用半径与边长的关系，转化为三角函数的最值问题即可求解.

【详解】如图所示：

设，则矩形周长为：

此时，为锐角，

当时，周长有最大值

故答案为：.

11．若，点是二次函数图像上的点，则的最小值为__．

【答案】

【分析】由跟与系数的关系得出及的关系，再由两角和公式代入展开式种，即可求出关于的表达式，再根据的取值范围即可求得的最小值.

【详解】，所以

由且，所以当时，的最小值为．

故答案为：

12．已知实数满足，则的最小值为__．

【答案】

【分析】根据题意结合正弦函数的有界性分析可得，即可得，代入运算求解.

【详解】由，可得，，

∵，则，

所以，即，

所以的最小值为，当且仅当时取到最小值．

故答案为：.

二、单选题

13．在中，若，则这个三角形的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不能确定

【答案】B

【分析】根据三角形内角的范围，结合三角函数值在各象限的符号分析判断即可.

【详解】在中，则，故，

∵，则，

∴，故这个三角形是钝角三角形．

故选：B．

14．满足条件的的个数为（    ）

A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断

【答案】B

【分析】利用余弦定理运算求解即可判断.

【详解】因为，即，解得或，

所以满足条件的有两个．

故选：B．

15．在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

所以，选A.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

16．下列命题中正确的个数为（    ）

①若，则是第一或第二象限角；

②；

③若是锐角三角形，则；

④若是的内角，则“”是“”的充要条件．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【分析】对①：根据任意角三角函数的定义分析判断；对②：根据集合间的关系分析判断；对③：根据三角形的内角性质结合诱导公式、正弦函数的单调性分析判断；对④：根据三角形的边角关系结合余弦函数的单调性分析判断.

【详解】对①：若，则是第一或第二象限角或的终边为y轴正半轴，①错误；

对②：，

∵为偶数，为整数，

∴，②正确；

③若是锐角三角形，则，即，

∵，则，且在上单调递增，

∴，

同理可得：，

故，③正确；

④若是的内角，则，

∵，且在上单调递减，

∴，

即，

故“”是“”的充要条件，④正确.

故选：D.

三、解答题

17．已知，，其中．

(1)求的值；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意由和差公式得出，联立，且，即可解出答案；

（2）求出的值，结合，即可得出答案.

【详解】（1），

即，

联立，且，

解得，．

（2）由小问1得，

则，

，则

则．

18．在中，已知，.

（1）求的大小；

（2）求的值.

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）根据题设条件和余弦定理，求得，即可求得的值；

（2）因为，由正弦定理得到，即可求解.

【详解】（1）在中，因为，，可得

由余弦定理可得，

因为，所以.

（2）因为，由正弦定理，可得，

可得.

19．已知函数，若，，．

(1)求的值，并求函数的最小值及此时的值；

(2)函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，，时，有最小值．

(2)

【分析】（1）联立，及，求出，的值，将的值代入函数中利用二次函数求最值方法求解最小值以及取最小值时的自变量的值.

（2）由题意转化为成立或恒成立问题，然后对进行分论讨论即可

【详解】（1）因为，

所以，

所以，①

因为，

所以，②

由②得，或

解得或

因为，且，所以，代入①

，

所以，

所以

所以．

所以当，即时，有最小值．

（2），当时，，

因为对任意的，总存在，使得成立，

所以的值域是值域的子集，

当时，，舍去；

当时，因为，所以，

所以，所以；

当时，因为，所以，

所以，所以；

综上，实数的取值范围是．

20．如图，在平面直角坐标系中．锐角、的终边分别与单位圆交于、两点．

(1)如果，点的横坐标为，求；

(2)若，将角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，求角的大小及四边形的周长；

(3)若角的终边与单位圆交于点，设角、、的正弦线分别为、、，试探索线段、、能否构成一个三角形？

【答案】(1)

(2)，；

(3)线段能构成一个三角形．

【分析】(1)由同角关系可求，由三角函数定义和同角关系求，利用两角差的余弦公式求；

(2)结合三角形面积公式表示四边形的面积，由条件列方程求，再求其周长.

(3)由正弦线的定义表示、、，结合正弦函数和余弦函数的性质判断线段、、中任意两条线段的和与第三条线段的大小关系，由此确定结论.

【详解】（1）因为且为锐角，

所以，

所以，，

因为点的横坐标为，

由三角函数的定义得，，

所以；

（2），所以，

因为，所以；

因为，，所以，

因为，，所以，

所以，

所以四边形的周长为4，

（3）因为角、为锐角，所以，

由已知，，，

所以，

，所以，

同理，

所以线段能构成一个三角形．