2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．半径为的球的体积是___________.

【答案】

【分析】根据球体积公式计算．

【详解】由题意球体积为．

故答案为：．

2．设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.

【答案】##

【分析】设正四面体为，过作底面，可知为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．

【详解】如图，设正四面体为，过作底面，垂足为，

四面体为正四面体，为底面正三角形的中心，

连接并延长交于，则为中点，

底面边长为1，，

，

该正四面体的高为．

故答案为：．

3．两条平行直线与之间的距离为______.

【答案】##0.6

【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.

【详解】两条平行直线与之间的距离为：

.

故答案为：.

4．若直线的一个法向量为，则过原点的直线的方程为______.

【答案】

【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.

【详解】若直线的一个法向量为，可设直线方程为，

由直线过原点，∴，

故所求直线方程为，即.

故答案为：

5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.

【答案】

【分析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积

【详解】由已知可得

则

故答案为：.

6．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．

【答案】2π

【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．

【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积．

故答案为：2π.

7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.

【答案】

【解析】根据已知可知：，再代入离心率公式即可.

【详解】由题知：，即.

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.

8．已知直线，，则直线的倾斜角的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意可得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则有，，再根据正切函数的性质即可求得答案.

【详解】解：因为直线，，

所以直线的斜率，

所以，

设直线的倾斜角为，

则有，

又因为，

所以.

故答案为：

9．已知正三棱台上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.

【答案】

【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.

【详解】上底面的面积为，下底面的面积为，则这个正三棱台的体积为.

故答案为：

10．已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为______.

【答案】

【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案.

【详解】把直线化为 ，

，恒过定点，

当圆被直线l截得的弦长的最小值时，

圆心到定点的距离为，

圆心到直线距离最大值时即为，

此时直线弦长为最小值.

故答案为：.

11．在棱长为2的正方体，M，N，Q，P分别为棱，，，的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.

【答案】

【分析】由正方体性质确定三棱锥的性质，从而确定其外接球球心所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．

【详解】如图，取中点，，由正方体性质知平面，

由已知是等腰直角三角形，是斜边，则三棱锥的外接球球心在上，连接，

由平面知，同理，

是直角梯形，，，，设外接球半径为，

则，

在直角三角形中，，解得．

所以球表面积为．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．

12．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围.

【详解】为椭圆右焦点，连接，如图所示：

分别为的中点，，为直径，，

，

所以点轨迹是以为圆心2为半径的圆，在圆内，

所以的最小值为，最大值为，即的取值范围为.

故答案为：

二、单选题

13．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】由公理2的推论即可得到答案.

【详解】由公理2的推论:

过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,

可得在同一平面,

故充分条件成立;

由公理2的推论：

过两条平行直线,有且只有一个平面,

可得,

当时,

在同一个平面上,

但中无三点共线,

故必要条件不成立;

故选:A

【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;

公理2的三个推论：

经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;

经过两条平行直线,有且只有一个平面;

经过两条相交直线,有且只有一个平面;

14．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为

A． B． C． D．1

【答案】B

【详解】试题分析：设点，所以，由此可得

，，所以的最小值为.

【解析】向量数量积以及二次函数最值．

15．已知曲线C：，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（    ）

A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题

C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题

【答案】A

【分析】结合均值不等式得到当且仅当时，等号成立，以及，从而可判断命题q的真假性，检验点是否在曲线上即可判断命题p的真假性.

【详解】因为，当且仅当时，等号成立，

所以，

因此曲线C所围成的区域的在圆上或者内部，即，

故曲线C上的点到原点的最大距离是2，因此命题q为真命题，

圆上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有，

其中点显然在曲线C上，但是不在曲线上，

故曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p为真命题，

故选：A.

16．四面体的所有棱长都为1，棱平面，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设A、B、C、D在平面内的射影依次为，分别讨论在两侧、其中一点在上、在同侧时的投影图形，

其中在同侧时，时面积最小、平面时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.

【详解】四面体的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知,正四面体的侧面上的高为，正四面体的高.

∵棱平面，设A、B、C、D在平面内的射影依次为，则，

i.当在两侧时，构成的图形即为四边形，此时，，即，则所求面积即；

ii.当在同侧或其中一点在上时，构成的图形即为，在的高上（或在的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中

①当平面时，；

②当平面时，；

③当时，为CD到面的距离，即.

故，则所求面积即.

综上，四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是.

故选：D

三、解答题

17．已知圆C经过、两点，且圆心在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线经过点且与圆C相切，求直线的方程．

【答案】（１） ；（２）

【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线的方程与联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，与圆相切，方程为；当直线斜率存在时，设斜率为，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出的值.

试题解析：（1）依题意知线段的中点坐标是，直线的斜率为，

故线段的中垂线方程是即，

解方程组得，即圆心的坐标为，

圆的半径，故圆的方程是

（2）若直线斜率不存在，则直线方程是，与圆相离，不合题意；若直线斜率存在，可设直线方程是，即，因为直线与圆相切，所以有，

解得或．

所以直线的方程是或.

18．如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点.

(1)求证：直线平面；

(2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据即可证明；

（2）证明平面，平面，进而结合已知条件证明为等腰直角三角形，，再根据二面角的概念求解即可.

【详解】（1）证明：因为、分别为棱、的中点.

所以，在中，，

因为平面，平面，

所以，直线平面

（2）解：因为平面平面，平面平面，平面,

所以平面，

所以，是直线与平面所成的角，

因为直线与平面所成的角为45°，

所以，，

所以

因为平面，平面，

所以，，

因为，，平面，

所以平面，

所以，是直线与平面所成角，

因为直线与平面所成角为30°，

所以，

所以，

不妨设，则，

所以，为等腰直角三角形，

因为，，

所以是二面角的平面角，

所以二面角的大小为

19．如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.

(1)求码头点的坐标；

(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON方程，再求解Q点坐标.

（2）由直线AQ的方程求解B点坐标，进而求解AB的直线方程.由（1）知C为垂足，可联立直线AB与PC 方程，即可求解C点坐标.

【详解】（1）由已知得，，直线ON方程：

设，由及图，得，.

（2）直线AQ的方程为即

由，解得，即

则直线AB 方程，

点P到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C，

因为，且，，

，则直线PC方程为

联立，解得

轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为.

20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动.

(1)证明：；

(2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由；

(3)求直线与平面所成角的取值范围.

【答案】(1)证明详见解析

(2)存在，且

(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.

（2）根据向量法列方程，从而求得.

（3）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

，

设，则，

，所以.

（2）若是的中点，则，

，设平面的法向量为，

则，故可设，

设，，

若平面，平面，

则，所以是的中点，所以.

（3），

设，

设平面的法向量为，

则，故可设，

设直线与平面所成角为，

则，

由于，

所以，

所以.

21．已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交于点、（在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.设、.

(1)若点的坐标为，求的周长；

(2)设直线的斜率为，的斜率为，证明：为定值；

(3)求直线倾斜角的最小值.

【答案】(1)8

(2)证明见解析

(3)直线倾斜角的最小值为

【分析】（1）利用椭圆的标准方程和点的坐标，结合题中条件可得为焦点三角形，周长为；

（2）设，由，可得，，求出直线的斜率，的斜率，推出为定值．

（3）设，，，．直线的方程为直线的方程为，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解坐标，然后求解的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线倾斜角的最小值．

【详解】（1）椭圆，由方程可知，椭圆两焦点坐标为，

若点的坐标为，点为左焦点，点是线段的中点，故点的坐标为，垂直于轴， 则与轴交点为椭圆右焦点， 可得的周长为点到两焦点距离之和加上点到两焦点距离之和，都在椭圆上，所以的周长为8.

（2）证明：设，由，可得，，

所以直线的斜率，的斜率，所以，

所以为定值．

（3）设，，直线的方程为，直线的方程为，

联立方程，整理得，

根据根与系数可得，可得，所以，

同理，

所以，

，

所以．由，，可得，

所以，当且仅当，即时，取得等号，

此时，解得，

所以直线斜率的最小值为，直线倾斜角的最小值为．