2022-2023学年上海市金山中学高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年上海市金山中学高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知复数（i是虚数单位），则z的虚部为______．

【答案】2

【分析】根据共轭复数的定义和虚部的定义即可求解.

【详解】，

所以，

所以则z的虚部为：2.

故答案为：2.

2．直线与直线的夹角大小等于_________.

【答案】

【分析】求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小.

【详解】的斜率为2，倾斜角为，

的斜率为0，倾斜角为，故两直线的夹角为

故答案为：

3．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】由被开方数大于等于0、对数的真数大于0及分母不为0，列不等式组即可求解.

【详解】由解析式可得，解得，可得.

故答案为:.

4．函数的最大值为______．

【答案】2

【分析】由两角差的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数性质得最大值．

【详解】，

所以，即时，．

故答案为：2.

5．已知集合，，若，则实数a的值为______．

【答案】

【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解.

【详解】联立，

解得，

若，

则，

所以.

①当 时，两个集合的条件都变为，因此交集不为空集.

②当 时，两个集合的条件都变为和，所以交集为空集.

故答案为：.

6．已知函数的图象关于原点对称，且x＞0时，，则______．

【答案】

【分析】根据奇函数的性质即可求解.

【详解】因为函数的图象关于原点对称，

所以为奇函数，

所以，

x＞0时，，

所以，

所以.

故答案为：.

7．直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________.

【答案】或

【分析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆心到直线的距离，求出斜率，由此能出直线的方程．

【详解】直线过点且与圆相切，

圆的圆心，半径，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立；

当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，

解得，直线的方程为，即．

综上，直线的方程为或．

故答案为：或．

8．已知空间中三点，，，则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为______．

【答案】

【分析】根据空间中两点间的距离公式，判断出三角形为等边三角形即可进一步求解.

【详解】，

，

，

所以为等边三角形，

所以，

平行四边形的面积为.

故答案为：.

9．已知椭圆C：的面积公式为，若抛物线上到焦点的距离为2的一点P在椭圆C：上，则该椭圆面积的最小值为______．

【答案】

【分析】设，根据抛物线的定义可求，代入抛物线方程可得，代入椭圆方程可得，利用基本不等式可得，根据椭圆面积公式即可求解.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

设，由题意可得，解得.

所以.

因为在上，

所以，即.

所以，可得，当且仅当时取等号.

所以，即该椭圆面积的最小值为.

故答案为:.

10．已知矩形是矩形内一点，且到的距离为2．若将矩形绕顺时针旋转，则线段扫过的区域面积为__________．

【答案】##

【分析】由题可得线段扫过的区域为圆锥的侧面，再根据圆锥侧面积公式求解即可

【详解】线段AP扫过的区域面积即为以为半径，母线长为的圆锥的侧面积的即，故；

故答案为：

11．已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．

【答案】8

【分析】由题意可知，，，结合P为椭圆上的点，可用P的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解

【详解】由题意可得，，，，

，

，

为椭圆上的点，

由题意可知，，

，

故答案为8．

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及求椭圆中最值问题，属于知识的简单综合应用．

12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为__________.

【答案】##

【分析】先证明出△PCD和△PBC均为直角三角形，得到O点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．

【详解】在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，

所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，

在△BCD上，，

由余弦定理可得：

，

所以，所以∠CBD＝90°．

所以BD⊥CB．

又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．

又PD∩BD＝D，PD 面PBD， BD面PBD

所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．

则△PCD和△PBC均为直角三角形，当O点为PC中点时，OP＝OD＝OB＝OC，

此时O为四面体PBCD的外接球的球心．

∵直线PA与平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，

则∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，

又，

∴四面体PBCD外接球的半径为，

所以四面体PBCD外接球的体积为．

故答案为：．

二、单选题

13．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式可得集合，再根据集合的运算即可求解.

【详解】因为,所以或.

因为，所以.

故选:C.

14．已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可.

【详解】由双曲线方程为：，

所以，由左焦点为，

所以，由，

所以，

所以该双曲线的标准方程为：，

所以渐近线方程为：，

直线恒过点，

且，且过，

所以直线与渐近线平行，

故，

设直线l的倾斜角为，

则，

又，

所以，

故选：D.

15．一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为、、，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式影=侧，知屋顶面积、、，均相等．

【详解】∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为，

则由面积射影公式，得：

∴．

故选:D．

【点睛】本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式影=侧，容易得出结论，是基础题．

16．已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中.则、公共点的个数不可能为（    ）

A．0个 B．4个 C．8个 D．12个

【答案】D

【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，则由图形的对称性即可得到结果.

【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即，

则当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，，

所以曲线是以、、、为顶点的矩形，

设曲线上的点为，满足，即，

所以是椭圆，

所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个，

故选：D

三、解答题

17．已知数列为等比数列，且为严格增数列，，，．

(1)求数列的通项公式及前n项和；

(2)求数列的前n项和的最小值．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据题意可求，从而可求公比，根据等比数列的通项公式即可求数列的通项公式.根据等比数列的求和公式即可求；

（2）根据对数的运算可得，可得数列为等差数列，分析数列的正负项，根据等差数列的求和公式即可求的最小值．

【详解】（1）因为为严格增数列，，，

所以.

所以，解得或（舍）.

所以.

又，所以.

（2）由（1）得，所以.

所以数列为等差数列，首项为，公差为2，

当时，；当时，；当时，.

所以的最小值为.

18．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA＝2，∠AOP＝120°．

(1)求三棱锥A1﹣APB的体积．

(2)求异面直线A1B与OP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据表面积得到，计算，再计算体积得到答案.

（2）为的中点，连接，证明，在中，计算各条边长，再利用余弦定理计算夹角得到答案.

【详解】（1），，故.

，则，，，

，

.

（2）如图所示：为的中点，连接，

为的中点，为中点，则，

，，，

在中，.

故异面直线A1B与OP所成角的大小为.

19．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．

（1）求椭圆的标准方程及离心率；

（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点．求的面积．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知，再根据，即可求出，由此即可求出椭圆的方程和离心率；

（2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，设，求出，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果.

【详解】（1）由题意，，，

所以椭圆的标准方程为，离心率为；

（2）直线的方程为，代入椭圆方程得

设，则

∴，

又∵点到直线的距离

即的面积为.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线中弦长公式的应用.

20．如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，.

(1)证明：；

(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；

(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.

【答案】(1)证明见解析.

(2)存在，线段AM的长为.

(3)

【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直.

（2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长.

（3）通过向量关系表达出，再表达出， 列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长.

【详解】（1）由题意，

在四棱锥中，

⊥面ABCD，,，

∴，

在直角梯形中，，

∵，

∴

∵

∴

（2）由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，

在四棱锥中，，

作出空间直角坐标系如下图所示：

由几何知识得，，，，，，

∴，，，

设，则,

∴

∴，

若AM⊥面PCD

解得：

∴

（3）由题意及（1）（2）得，

，，

设

∴，

设，，

∴

当且仅当即时，最大，为，

在中，上是减函数，

∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小，

∵，

∴，

∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为.

21．已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、.

(1)若到和到直线的距离相等，求的值；

(2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）；

(3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）根据函数表达式可设，结合两点间距离公式可得，整理即可求解；

（2）设，，则可得到，，由平行关系可得，整理即可证明；

（3）设直线、的斜率分别为、（），代入函数表达式可得，的坐标，即可得到直线的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解.

【详解】（1）设（），由题意，.

而，由知，，故.

（2）设，（，），则，，

故由，得，即，

由于，故，

所以为定值.

（3）由题，设直线、的斜率分别为、（），

则，，

故直线的方程为，

设，则，

所以到直线距离为，

当时，，故.