2022-2023学年天津市实验中学高二上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年天津市实验中学高二上学期期末数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）
A．14，20B．15，25C．15，20D．14，25
【答案】B
【分析】找到规律后代入计算即可.
【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，
第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15.
正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，
第四个数，第五个数.
故选：B.
2．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
3．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
4．在数列中，，（，），则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值
【详解】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，，
故选：A
5．在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由等比数列等比中项的性质可得，进而可得.
【详解】由等比数列，
解得，
所以，
所以，
故选：D.
6．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据离心率得到，再根据双曲线的定义及勾股定理求出，即可求出双曲线方程；
【详解】解：因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）
所以双曲线的标准方程为：
故选：A
7．为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的正负决定函数的增减，以及导数的几何意义即可得出正确选项.
【详解】导数正负决定函数的增减，
根据导数先正，后负，后正，
所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，
再根据导数的几何意义是切线斜率，
所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，
所以应选B，不选C.
故选：B.
8．下列求导运算正确的个数是（ ）个
①若，则；
②若，则
③若，则.
④若，则.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由导数的运算公式、运算法则及复合函数的导数运算公式计算各项判断即可.
【详解】对于①，故①正确；
对于②，∵
故②正确；
对于③，
故③错误；
对于④，
故④正确；
∴①②④正确，正确的个数共有3个.
故选：C.
9．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出和的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】由题意知，，
解得，，
直线与平行，则，得，
，
化简得，即，解得.
故选：A
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
二、填空题
10．已知等差数列满足：，，则___________.
【答案】
【分析】由等差数列的通项公式转化为基本量进行计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，则
解得，
∴.
故答案为：.
11．双曲线 的离心率为__________．
【答案】
【详解】∵双曲线的方程为
∴，
∴
∴
故答案为
12．设是公比不为1的等比数列，且，则的通项公式___________.
【答案】.
【分析】根据已知条件列方程求出公比，从而可求出通项公式.
【详解】设等比数列的公式为（），
因为，
所以，即，
解得或（舍去），
所以，
故答案为：.
13．若函数，则___________.
【答案】
【分析】求导后代入即可构造方程求得结果．
【详解】，，解得：．
故答案为：
14．函数的图象在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】求导，求得， ，根据导函数的几何意义可得答案．
【详解】因为，所以，又因为，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
故答案为：．
三、双空题
15．已知数列的前项和为，则取得最小值时的值为_______；_______.
【答案】 9； ##
【分析】利用函数单调性即可求得取得最小值时的值，利用即可求得的值.
【详解】，
则当时，单调递增，；
当时，单调递增，，
则取得最小值时的值为9；
故答案为：9；
四、解答题
16．已知数列的前项和为，满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得，即可证明是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由等比数列通项公式的计算即可得出答案.
【详解】（1），所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
（2）因为是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
17．已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.
(1)求双曲线的离心率和渐近线方程；
(2)求抛物线的方程和抛物线的准线方程；
(3)若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.
【答案】(1)双曲线的离心率为，渐近线方程为：
(2)抛物线的方程为，抛物线的准线方程为.
(3)
【分析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的离心率和渐近线方程；
（2）由题意出的值，即可求出抛物线的方程和抛物线的准线方程.
（3）由抛物线的定义可得，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为双曲线的方程为，
所以.
所以.所以.
所以双曲线的离心率为，渐近线方程为：
（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，
所以.
抛物线的方程为，抛物线的准线方程为.
（3）因为点为抛物线上一点，
所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.
因为点到拋物线的焦点的距离是5，
即，
所以.
18．已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项.
(1)求和的通项公式；
(2)已知，数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)（）；（）
(2)（）
【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式；
（2），令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减求得，即可求解；
【详解】（1）解：或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
（2）解：时，，
∴
．
时，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．