2022-2023学年河南省中原名校高二上学期第二次联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省中原名校高二上学期第二次联考数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
答案：
C
解析：
【分析】
根据斜率与倾斜角的关系，结合三角函数诱导公式可得倾斜角.
【详解】
斜率，
故选：C．
2. 已知，为空间直角坐标系中的两个点，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
B
解析：
【分析】
利用向量共线列方程即可求解.
【详解】
因为知，，所以.
因为，则，解得：.
故选：B．
3. 若直线交圆于、两点，且弦的中点为，则方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
【分析
由垂径定理可知，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，
因为弦的中点为，由垂径定理可知，，
，故，因此，直线的方程为，即.
故选：A.
4. 设，则“直线：与直线：平行”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：
A
解析：
【详解】
当直线：与直线：平行或重合时，
可得，解得或，
当时，直线：，直线：，
此时直线平行，
当时，线：，直线：，
此时直线平行，
所以“直线：与直线：平行”
是“”的必要不充分条件.
故选：A.
5. 圆上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A. B. C. D.
答案：
C
解析：
【分析】
先求出圆心到直线距离，利用几何法进行判断.
【详解】
由圆，可知其圆心坐标为，半径为.
因为圆心到直线的距离，如图所示.
所以圆上的点到直线的距离为的点有共个.如图示：
故选：C．
6. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】
如图，以鼻尖所在位置为原点，中庭下边界为轴，垂直中庭下边界为轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点到直线距离为，
故选:B.
7. 在三棱锥中，两两垂直，且分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：
B
解析：
【分析】
以点为坐标原点，以，，方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线和的方向向量代入公式即可得出答案.
【详解】
以点为坐标原点，以，，方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
设异面直线和所成角为，则.
故选：B.
8. 直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程不可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：
B
解析：
【分析】
由题意，根据截距相等，设出直线方程，此时注意截距为零的时候，结合直线与圆相切的知识，可得答案.
【详解】
由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或，
由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，
故①，∴或，②，∴．
故直线的方程为：，，，
故选：B．
9. 已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：
C
解析：
【分析】
设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】
∵在基底下的坐标为
∴
设在基底下的坐标为
则
对照系数，可得：
解得：
∴在基底下的坐标为
故选：C.
10. 已知三点，，则外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
答案：
B
解析：
【详解】
因为外接圆的圆心在直线的垂直平分线上,即直线上
可设圆心,由得：，得
圆心坐标为，所以圆心到原点的距离
故选：B.
11. 平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线．若平面上到两条直线，的距离之和为的点的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：
C
解析：
【分析】
由题意易知点的轨迹方程为，则可求出平行四边形的四个顶点，由此即可求出其面积.
【详解】
设，则点的轨迹方程为，
令，则曲线与交于，，
令，则曲线与交于，，
易知：．
故选：C．
12. 在长方体中，，，动点在体对角线上，则顶点到平面距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：
D
解析：
【分析】
以点为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面的法向量，表示出点到平面的距离为，即可得到其最大值.
【详解】
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则，，，，则，故，
又，，于是，
设平面的法向量，则有，
可取，
则点到平面距离为，
当时，点到平面的距离为，
当时，，
当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，
故选:D．
二、填空题
13. 过点作直线，则满足在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是__________．
答案：
或
解析：
【分析】
分别在截距相等且不为和截距为的情况下，结合直线方程截距式方程和直线过原点可求得结果.
【详解】
若截距相等且不为，可设，则，解得：，；
若截距为，则直线过原点，；
综上所述：直线的方程为或.
故答案为：或.
14. 已知，且，其中为坐标原点，则_________．
答案：
解析：
【分析】
由空间向量的数量积可得出，即可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】
因为，故，即，故，
故．
故答案为：.
15. 如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_________．
答案：
解析：
【分析】
以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线夹角.
【详解】
如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
由题可得，，，，，
，，
为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，
又平面与平面均与轴垂直，
所以，，
又，，，分别是，，，的中点，
则，，，，
所以，，
，
所以直线与直线夹角余弦值为，
故答案为：.
16. 已知直线与圆交于两点，且的面积为，则实数的值是_________．
答案：
或或
解析：
【分析】
利用三角形的面积公式求出或，解三角形得到圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式求出的值.
【详解】
由圆，配方得：，可得圆心坐标为，半径为.
因为的面积为，可得：，解得，所以或.
当时，，所以圆心到直线的距离为，即，解得：；
当时，，所以圆心到直线的距离为，即，解得：；
故答案为：或或.
三、解答题
17. 已知直线，直线和．
（1）求证：直线 恒过定点；
（2）设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）先分离参数，再令参数的系数等于 ，求得、 的值，可得直线 恒过定点；
（2）先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后解出即可.
【详解】
（1）由题，
可化为，
由于，令，可得，
所以，解得，
即直线 恒过定点．
所以直线 恒过定点.
（2）由（1）知，不妨设，
由题意可知，恰为 的中点，
所以，
因为， 分别在直线 和直线 上，
所以，
解得 ，所以，
将代入直线方程，解得．
所以 的值为 .
18. 已知过点且斜率为的直线与圆交于两点．
(1)求的取值范围；
(2)若，其中为坐标原点，求.
答案：
见解析
解析：
【详解】
（1）由题意可得，直线的斜率存在，
设过点的直线方程：，即：．
由已知可得圆的圆心的坐标，半径．
故由，解得：．
故当，过点的直线与圆：相交于两点．
（2）设； ，
由题意可得，经过点的直线方程为，代入圆的方程，
可得，
∴，
∴，
由，解得，
故直线的方程为，即．圆心在直线上，长即为圆的直径．所以
19. 如图，三棱柱中，分别是上的点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求的长．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【详解】
（1）=++
=++
=-+++（-）
=++，
又=，=，=，∴=++．
（2）∵，∴．
∵，∴．∵，
∴==，
∴
，
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是第一象限内的一点，其坐标为．
（1）若，求实数的值；
（2）过点作斜率为的直线和圆，圆均相切，求实数的值．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由圆的方程可确定圆心，利用向量数量积的坐标运算可构造方程，结合可求得结果；
（2）设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可构造方程组得到之间关系，结合过点，可求得的范围，代回所构造方程可求得的解.
【详解】
（1）由圆的方程知：圆心，，，，
，解得：或，
又是第一象限内的点，，.
（2）由圆的方程知：圆半径，圆半径；
设过点所作的圆，圆的公切线的方程为：，即，
则，，或，
则或；
过点，，
当时，，解得：，
由得：（舍）或；
当时，，解得：，
由得：（舍）或；
综上所述：或.
21. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上．
（1）证明：；
（2）当平面与平面所成的锐二面角为时，求平面与侧面的交线长．
答案：
见解析
解析：
【分析】
(1)建立以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，只需证明即可证明；
(2)利用空间坐标系，求出点坐标，即可得点位置，作出平面与侧面的交线，再计算即可.
【详解】
(1)由题意两两垂直.
所以以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
则．
∵是的中点，是的中点，∴，
设，∴，则，
则，
所以．
(2)设，则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
又平面的一个法向量为，
平面与平面所成的锐二面角为时，
∴，即，
解得，此时，如图位置，
设为的中点，连接，交于点，由 且∥,
所以与全等，则为中点,
连接,由分别为中点，则,
又分别为中点，则，
所以,
所以点共面，
又,
所以共面，即面与面重合.
所以平面与侧面的交线为，
所以交线长度.
22. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与点的轨迹相交于两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）设，利用两点距离公式整理化简即可得轨迹方程；
（2）由题设直线的斜率一定存在，设、、，联立的轨迹方程，由直线与圆位置关系及不在上求范围，求点线距离、弦长，应用三角形面积公式得关于的表达式，即可求面积最大对应参数的值，写出直线方程.
【详解】
（1）由已知，设，则，
平方整理得：，即，
所以点的轨迹方程是．
（2）由题意知：直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，
则，联立方程：，则，
∴，
显然直线不过点，则．
∵点到直线的距离，，
∴，
∵，，
∴当时取得最大值，此时，
存在且直线得方程为或．