2021-2022学年四川省成都市实验外国语学校高二下学期第一次阶段性考试数学（理）试题含答案

这是一份2021-2022学年四川省成都市实验外国语学校高二下学期第一次阶段性考试数学（理）试题含答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.函数在上的平均变化率为（ ）
A.B.C.D.
答案：
A
解析：
【分析】
根据题意直接计算可得.
【详解】
在上的平均变化率为.故选：A.
2.已知向量，，，则、的夹角为（ ）
A.B.C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
求出，利用平面向量的数量积可求得，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.
【详解】
由已知，所以，，
因为，因此，.故选：D.
3.已知位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是（ ）
A.众数为
B.平均数为
C.中位数为
D.极差为
答案：
B
解析：
【分析】
根据众数、中位数、平均数、极差的概念逐项判断.
【详解】
解：
对于选项A：根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为，故A错误；
对于选项B：平均数为：，故B正确；
对于选项C：中位数为：，故C错误；
对于选项D：极差为：，故D错误.故选：B
4.若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图内部（含边界），作直线，
由得，其中是直线的纵截距，
当直线向下平移时，纵截距减小．值增大，
所以当过点时，取得最大值，
由，得，即，
所以．故选：D．
5.设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.B.C.D.
答案：
C
解析：
【分析】
由已知可求得，再根据等比数列求和公式即可求出.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
.故选：C.
6.若函数，则（ ）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
根据导数的定义，结合对数函数的导数公式进行求解即可.
【详解】
由，
，故选：B.
7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高米的山顶的测得点的在东偏南方向上过一分钟后测得点处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（ ）
A.米/秒B.米/秒
C.米/秒D.米/秒
答案：
A
解析：
【分析】
根据题意可得，再除以时间即可得解.
【详解】
根据题意，由处在山顶俯角为，
所以，
由东偏南，东偏南，
所以，
所以为等腰三角形，所以，
由，所以速度为米/秒，故选：A.
8.设，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（ ）
A.B.
C.D.
答案：
A
解析：
【分析】
利用导数的单调性研究函数的性质，以及一元二次方程根的情况，结合选项逐项分析即可求出结果.
【详解】
A选项：设函数的极小值点为，极大值点为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而，所以，符合，则经过一、二、四象限；故A正确；
B选项：设函数的极小值点为，极大值点为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而，所以，符合，则经过一、二、四象限；故B错误；
C选项：因为函数在上单调递增，而，则恒成立，所以，则，由得，，，所以只有一个交点，故C错误；
D选项：设函数的极大值点为，极小值点为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，所以，不符合；故D错误；故选：A.
9.已知三棱锥中，是边长为的等边三角形，，且平面平面，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
可将三棱锥补为正三棱柱，根据正三棱柱外接球求法即可得结果．
【详解】
如图，根据几何关系，可将三棱锥补为正三棱柱，
则三棱锥的外接球为该正三棱柱的外接球，
设、分别为该正三棱柱上、下底面外接圆圆心，则外接球球心为中点，
根据正弦定理得等边三角形外接圆半径，
则外接球半径，
则外接球表面积为．故选：B．
10.若函数有且只有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
【分析】
分段分析函数的性质，再根据函数的零点个数确定参数的取值范围.
【详解】
根据题意，时，，此时
时，;时，，
所以在上单调递增，在上单调递减
时，
所以在上无零点
从而时，有个零点，根据二次函数的性质可得
，故选：D.
11.双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
答案：
C
解析：
【分析】
由，且，可得，再结合，可得，进而在中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.
【详解】
由题意，可得，
因为，所以，
又，所以，
在△中，，即，
由余弦定理，可得，
整理得，则，即，解得，
因为，所以.
故选：C.
12.设直线，分别是函数的图象上点，处的切线，与垂直且相交于点，且，分别与轴相交于点，则面积的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线，的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为，再分别写出两直线的点斜式方程，求得两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得点的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用函数的性质求得的面积的取值范围
【详解】
设，由图象，不妨设
当时，，当时，，
所以的斜率，的斜率，
因为与垂直，，所以，得，
直线为，为，
令，可求得，
所以，
联立两直线方程可得交点的横坐标为，
所以，
因为函数在上为减函数，且，
所以，所以，所以面积的取值范围是，故选：B.
二、填空题
13.某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：
若回归直线方程为，据此模型预测，若使用年限为年，估计维修费约为________万元.
答案：
解析：
【分析】
由样本中心点得出后求解
【详解】
由题意，，
故，解得，当时，，故答案为：
14.“”是“函数在上单调递增”的________条件.
答案：
充分不必要
解析：
【分析】
求出导函数，利用导函数确定函数的单调性，结合充分必要条件的定义判断．
【详解】
，定义域是，，
，即时，恒成立，递增，
当时，，时，恒成立，递增，
时，，时，，只有时，因此递增，
因此时，在上是增函数，但在上是增函数时，不能得出，因此题中应为充分不必要条件．故答案为：充分不必要．
15.已知定义在上的可导函数为偶函数，且满足，若当时，，则不等式的解集为________.
答案：
解析：
【分析】
构造函数，确定奇偶性，由导数确定单调性，利用奇偶性变形不等式，再由单调性解出不等式．
【详解】
设，则，时，是增函数，
又是偶函数，所以，是偶函数，
，
不等式即为，
由是偶函数，得，
又时，递增，所以，．故答案为：．
16.已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于､两点，为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则________.
答案：
解析：
【分析】
设出直线的方程，与抛物线联立，得出韦达定理，再利用相似比得出即可求出.
【详解】
设，直线的方程为，
联立，可得，
所以①，②，
因为，可得，过作交轴于交于
由题可得，所以，则，
整理可得③，
联立①②③，解得，，
所以.故答案为：.
三､解答题
17.已知，其中.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若是函数的极小值点，求函数在区间上的最值.
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）求出导函数，得，计算出，由点斜式得切线方程并化简；
（2）求导函数，由求得，然后解出的根，列表确定的符号，的单调性与极值，计算出区间端点处函数值，得最值．
【详解】
（1），，，
，，
切线方程为，即；
（2），，，，或，
列表如下，
所以最大值为，最小值为．
19.年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
（1）根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）现从同期产值增长率的上述个分组中各选个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的个企业中再随机选取其中个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率.
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由频率分布表将的企业数除以总企业数得到比例，再结合表及平均数的求法求个企业同期产值增长率的平均数.
（2）应用列举法：写出选出个企业所有组合及个企业恰有一家企业同期产值负增长的组合，根据古典概型的概率求法求所求概率.
【详解】
（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为.
这个企业同期产值增长率的平均数为.
（2）将欲调研的这个企业按分组区间从左至右依次记为：，
则从个调研企业中任选个企业的基本事件有：共种，
事件“这个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：共种，
所以这个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：.
21.如图，多面体中，，，为的中点，四边形为矩形.
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值.
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由线面垂直的判定定理证明平面后可得线线垂直；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】
（1）四边形为矩形，，
又，为中点，，
、平面，，平面，
，平面，
又平面，，
，，、平面，
平面，又平面，．
（2），是中点，则，又，
，平面，所以平面，
，则，
以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，则，，，
，，，．
，，．
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，，，，
，
由图可知二面角的余弦值为．
23.已知椭圆的左焦点为，离心率为，斜率为的直线过点和点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程．
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由直线斜率求出，由离心率求出，由、、关系求出；
（2）按斜率是否存在进行讨论.当直线斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立，求出的面积，另外也可由求得的面积，由此得关于的方程即可求解.
【详解】
（1）由题设知，直线的斜率．
椭圆离心率，则．
∴，椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，：，直线交椭圆于点、.．
注意到是等腰三角形，则，，
，∴直线满足要求．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
与联立消去整理得：
.
因直线过椭圆的左焦点，
∴直线与椭圆必相交，设交点、，
则，.
点到直线的距离.
，
∴，直线的方程为：或，
即或或.
25.已知函数（为非零实数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，，且，求证：.
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由导数与单调性的关系求解
（2）先求出，，将原式化简后再构造函数证明不等式
【详解】
（1）定义域为，
，
①当即时，，在上单调递增，
②当即时，令，得，
当或时，
当时，
故在和上单调递增，在上单调递减，
③当即时，，
同理得在上单调递减，在上单调递增．
（2）若有两个极值点，，由（1）得，
故可化为，而，
代入得，而，
只需证，
令，，当时，，
故在上单调递增，当时，，
而，故，
即证．
27.已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程
答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由条件可知圆心的坐标为，再根据条件转化为关于的方程，根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，利用弦长公式可知圆心到直线的距离是，求直线方程.
【详解】
（1）设圆心的坐标为，
则.
化简，得，解得.
所以点坐标为，
半径.
故圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为，满足条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意得，解得，∴直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.