2021-2022届四川省成都市石室中学高三下学期第三次诊断性考试数学（文）试题含答案

四川省成都市石室中学2021-2022届高三下学期第三次诊断性考试数学（文）试题

一、选择题

1.如果复数为纯虚数，那么实数的值为（   ）

A.

B.

C.

D.或

答案：

A

解析：

由题意，知，解得或.但当时，为实数，因此，故选A.

2.根据如下样本数据，得到回归直线方程为，则（   ）

A.，

B.，

C.，

D.，

答案：

B

解析：

作出散点图易知，回归直线的斜率，截距，故选B.

3.从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

集合的子集有，，，，，，，，，

共个，其中，这个集合是的子集，因此所求概率为，故选C.

4.空间四边形的对角线，，分别为的中点，，则异面直线和所成的角等于（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

取的中点，连接，则且，且，由余弦定理可知，，所以异面直线和所成的角为，故选B.

5.若点在两条平行直线与之间，则整数的值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

直线与两条平行直线和分别交于点及，因此.又由是整数，知，故选B.

6.设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称.在，，，四点中，函数与的图像的公共点只可能是（   ）

A.点

B.点

C.点

D.点

答案：

D

解析：

由题意，知.逐一带入验证可知，仅点可能同时在两条切线上，故选D.

7.已知直线和平面满足，，在，，这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

当且时，成立；当且时，不一定成立；当且时，结合，得成立，故选C.

8.已知，实数满足对于任意的，都有.若，则实数的值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

由题意，及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点.由，得.故选D.

9.过点作圆的两条切线，设切点分别为，圆心为，则过点的圆的方程是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

由几何关系易知，过点的圆以为直径，其圆心为，直径为，故所求圆的方程为，故选A.

10.在中， ，则的形状一定是（   ）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

答案：

B

解析：

由题意，知，故.结合可知，，即，所以一定是等腰三角形，故选B.

11.在中，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

设，则，，得，故，因此.

12.已知，且，则的最小值是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

由已知，得

，当且仅当，即，时等号成立.因此的最小值是是，故选B.

二、填空题

13.已知实数满足条件，则的最大值为________.

答案：

解析：

作出不等式组表示的平面区域如图所示.由图易知，当直线过点时，取得最大值为.

14.若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是________.

答案：

解析：

由题意可知，函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以，解得.

15.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个斑级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为，样本方差为，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________.

答案：

解析：

设样本数据由小到大依次为，记，则，.由于，且可知，，若，则，得中要么有个是其余个是，要么个都是，这与样本数据互不相同矛盾.若，则，取，，，满足题意.若，则，，，y，只有，，，满足，综上可知，，，，即样本数据的最大值为.

16.若函数的图像关于直线对称，且直线与函数的图像有三个不同的公共点，则实数的值为________.

答案：

解析：

由已知可得，是的两个零点，因此和也是的零点，所以

.

由题意可知，关于的方程有三个不同的实数解，令，则关于的方程有两个不同的实数解，因此与中有一个等于，另一个大于.不妨设，则，解得，此时满足条件，因此.

三、解答题

17.已知数列的前项和为，且.

（1）求及数列的通项公式；

（2）设，求使得成立的最小正整数的值.

答案：

见解析

解析：

（1）由题意，得，即，；

，即，将代入并整理得，.

当时，，即，

因此，当时，.

综上可知，数列的通项公式为.

（2）由（1）可得，，

则.

由，得.

注意到随着的增大二增大，且，

因此所求的最小值为.

18.某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人.为了了解该校学生在知识竞

赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间.将分数不低于分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.

（1）求的值，并估计该校学生分数的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若样本中属于“高分选手”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.

参考公式：，其中.

答案：

见解析

解析：

（1）由，解得.

众数估计值为分.

平均数估计值为（分）.

中位数估计值为分.

（2）由题意可知，样本中男生有人，女生有属于“高分选手”的有人，其中女生人.因此，得到列联表如下：

因此，的观测值，

所以有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.

19.如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面.

（1）试确定点的位置，并证明平面；

（2）若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积.

答案：

见解析

解析：

（1）如图，延长与的延长线交于点，则.

由，知平面，

所以平面，即点为所求.

在三棱柱中，，，所以.

又由是中点可知，是中点.

连接与交于点，连接，则是的中位线，

所以.

又平面，平面，

所以平面.

（2）如图，取中点，连接.

由题可知，是等边三角形，，所以且.

又由平面平面易知，平面，

所以是三棱锥的高.

由，得，

所以，

即四面体的体积为.

20.设函数.

（1）当时，判断的单调性；

（2）若函数的图象与轴没有公共点，求实数的取值范围.

答案：

见解析

解析：

（1）当时，，则.

因为的定义域为，且当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）由题意可知，关于的方程没有实数解，即关于的方程没有实数解.

设，则.

设，易知在上单调递减，且.

因此，当时，当时，

即当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

故当且仅当，即时，的图像与轴没有公共点，

所以当时，函数的图象与轴没有公共点，

即所求实数的取值范围是.

21.已知分别是轴，轴上的动点，且，动点满足，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）直线与曲线交于两点，为线段上任意一点（不与端点重合），斜率为的直线经过点，与曲线交于两点，若的值与的位置无关，求的值.

答案：

见解析

解析：

（1）设，，则.

设，则.

由题意，得，解得.

所以，化简得，

即曲线的方程为.

（2）由题意并结合（1）易知（不妨设点在第一象限内），，.

设点，其中.

则，，

所以.

因为斜率为的直线经过点，所以直线的方程为.

将直线的方程代入曲线的方程化简、整理，得.

设，则，

所以

所以.

因为的值与的值无关，

所以，解得.

四、选做题（2选1）

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线的距离的最小值.

答案：

见解析

解析：

（1）对于曲线，由且可知，曲线的普通方程为.

对于直线，利用可知，直线的直角坐标方程为.

（2）设为曲线上一点，

则点到直线的距离，

当且仅当，即时等号成立，此时.

因此，曲线上的点到直线的距离的最小值为.

23.已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）对于任意实数，且，若恒成立，求实数的取值范围.

答案：

见解析

解析：

（1）当时，

当时，由，解得，即.

当时，恒成立.

当时，由的解集，即.

综上所述，不等式的解集为.

（2）由柯西不等式，得，

当且仅当，即，时等号成立，

因此的最大值为.

因为，当时等号成立，

所以的最小值为.

要使恒成立，只需成立，

所以实数的取值范围是.

此题后多了两个表格