2022-2023学年河南省普高联考高三上学期考理科数学测评卷（二）

  普高联考2022—2023学年高三测评（二）

理科数学

一、选择题

1. 设全集，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

由集合的运算计算即可.

【详解】

，， ，

故选：A.

2. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

利用诱导公式得到，再利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】

，故，.

故选：B.

3. 设向量，均为单位向量，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 充要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

【分析】

由数量积的运算性质与充分条件与必要条件的定义求解即可

【详解】

向量，均为单位向量，由化简可得

，

所以，所以，即.

向量，均为单位向量，当时，则，

，

，

所以，

所以“”是“”的充要条件，

故选：B.

4. 已知实数满足，在下列各式有意义的前提下，一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

对于ABC，举例判断，对于D，利用基本不等式判断.

【详解】

对于A，若，则满足，而，所以A错误，

对于B，若，则满足，而，所以B错误，

对于C，若，则满足，而，所以C错误，

对于D，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以一定成立，所以D正确，

故选：D.

5. 设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.

【详解】

因为命题“”是假命题，

所以是真命题，

又可化为，即，

当时，，

所以在上恒成立，

所以其中, ，

当时有最小值为，此时有最大值为，

所以，故实数的取值范围是

故选：C.

6. 已知数列满足，，其中是等差数列，且，则（    ）

A. B. C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据条件，可以推出.然后，根据等差数列的性质，可得结果；也可以直接根据前项和公式求和.

【详解】

解法1：由已知，得，则，

根据等差数列的性质有，

所以，有

解法2：由已知，得，则，

根据等差数列的性质有，

所以，.

故选：B.

7. 函数的大致图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

由奇偶性判断BD，由判断AC.

【详解】

，，即函数在上单调递增，且，即函数的定义域为，定义域关于原点对称.，即函数是奇函数，图像关于原点对称，故BD错误；因为，所以C错误.

故选：A.

8. 已知的内角所对的边分别为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

利用正弦定理将原式边化角，再根据和角公式和辅助角公式化简即可.

【详解】

或（舍）

故选：C.

9. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

根据题意，写出函数的解析式，由函数的奇偶性和单调性列出不等式，解之即可.

【详解】

由题意可知：的定义域为，

因为，所以函数为奇函数，

又因为，且在上为减函数，

由复合函数的单调性可知：在上为增函数，

因为，所以，

所以，解得：或，

所以实数的取值范围为，

故选：D.

10. 已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则函数的最小值为（    ）

A. B.  C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

先由恒等变化化简，再结合的最小正周期可得，进而由图象变换得到，即可得到，结合二次函数的性质即可求解

【详解】

因为的最小正周期为，，

所以，所以，

所以，

又将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，所以，

所以，

当时，有最小值，且为，

故选：D.

11. 已知，，，则 大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

构造，，求导，结合函数单调性分析，即可判断.

【详解】

令，则，

令，有，令，有，

故函数在单调递增，在单调递减，

故，即，即，

令，则，

令，有，令，有，

故函数在单调递增，在单调递减，

故，即，即，

综上：.

故选：C.

二、多选题

12. 各项均为正数的等比数列的前项积为，若，公比，则下列命题错误的是（    ）

A. 若，则必有 B. 若，则必有是中最大的项

C. 若，则必有 D. 若，则必有

答案：

A、D

解析：

【分析】

由等比数列的性质可判断AB，由等比数列的单调性可判断CD.

【详解】

对于A，若，则，

即有，根据等比数列的性质，

则，即有，A正确；

对于B，若，则等比数列单调递减，

因为，所以，则是中最大的项；

若，则等比数列单调递增，

因为，所以，则是中最小的项，B错误；

对于C，若，则，而，所以数列单调递减，

若，则，所以；若，则，所以，C错误；

对于D，，而，所以数列单调递减，

所以，所以，即，D正确.

故选：AD.

三、填空题

13. 若各项均不为零的数列满足，，且，则_________．

答案：

解析：

【分析】

由，可知为等差数列，从而可以求出的通项公式，进而可求出的值．

【详解】

由，得，

∴为等差数列．又，，

所以，∴，

∴．∴．

故答案为：．

14. 已知向量，，若，则实数__________．

答案：

解析：

【分析】

先求得的坐标，再根据求解.

【详解】

因为向量，，

所以，

因为，

所以，

解得，

故答案为：.

15. 设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为，则实数的值为__________．

答案：

解析：

【分析】

由题意可得，，求出，然后由，得，再结合函数的最大值为，可得，从而可求得结果.

【详解】

因为函数的图象关于点对称，

所以，，

所以，得，

因为，所以，

所以，

由，得，

因为区间上的最大值为，

所以的最大值为，

所以，得，

故答案为：.

16. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．

答案：

解析：

【分析】

不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数的单调区间计算最大值即得到答案.

【详解】

，即，

设，恒成立，故单调递增.

原不等式转化为，即，即，

设，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故，故.

故答案为：.

四、解答题

17. 已知正项数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据，作差得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出其通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.

【详解】

（1）因为，即①，

当时，解得或（舍去），

当时②，

①②时，即，

即，即，

因为，所以，即，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以.

（2）由（1）可得，

所以

.

18. 已知函数．

（1）求的最小值，并写出此时的取值集合；

（2）若，求的单调递减区间．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）利用二倍角和辅助角公式化简函数得， 再利用再由余弦函数的最值求解即可；

（2）由，求出，再结合对取值即可求解

【详解】

（1）

当，即时，取得最小值，且，

所以，此时的取值集合为；

（2）由，得，

所以，所以的单调递减区间为，

又因为，

所以的单调递减区间为和

19. 设函数．

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）讨论的单调性并判断有无极值，若有极值，求出的极值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）求导得，根据条件可得，列出方程即可求得的值.

（2）由（1）可得，通过对的大小讨论即可得到其单调区间即极值.

【详解】

（1）因为
 

且曲线在处的切线与直线平行，

所以，即

故

（2）由（1）知
 

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，令，解得或

不妨令（是与中较小的一个，是较大的一个）

列表如下:

当时，即，取，其单调区间如表格所示，极大值为，极小值为.

当时，即，取，其单调区间如表格所示，极小值为，极大值为.

20. 已知的内角的对边分别为，，且．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）由正弦定理和辅助角公式可化简原式为，结合求解即可；

（2）由三角形的面积公式结合正弦定理得：，因为为锐角三角形，求出角的范围，即可求出的值域，即可求出面积的取值范围.

【详解】

（1）由以及，

可得，

即，

即，

即，

即，

由于，故，又，故，

故或，

解得或（舍去），

故.

（2）由正弦定理得，即，．

所以的面积，

．

因为为锐角三角形，

所以，

所以，所以，

故面积的取值范围是．

21. 在边长为的等边中，为边上一点，且．

（1）若为内一点（不包含边界），且，求的取值范围；

（2）若上一点满足，过作直线分别交于两点，设，，的面积为，四边形的面积为，且，求实数的最大值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)取的中点，则，所以，根据，可以得到，进而求出结果；

(2)根据得到，利用题干已知条件进行转化，再利用三点共线可以得出，然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解.

【详解】

（1）取的中点，所以，

因为为的中点，所以，

所以，

又因为，所以，故，

故的取值范围.

（2）因为，所以，

因为，，，

所以，也即，

因为点三点共线，所以①

因为，所以，

所以，又因为，所以，

所以②，

由①得：，将其代入②式可得：，

所以当时，取最大值.

22. 已知函数，函数的最大值为．

（1）求实数的值；

（2）设，若函数有个零点，求实数的取值范围．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据导数的性质，结合函数的最大值进行求解即可；

（2）根据导数的性质，结合函数零点的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】

（1）由，

当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即，满足；

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，无最大值，不符合题意，

综上所述： ；

（2），

，

若，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，

当时，，当时，，

所以要想函数有个零点，只需；

若，，所以函数是正实数集上的减函数，函数不可能有两个零点；若，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，

当时，，当时，，，

所以函数有一个零点，不符合题意，

若，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，

当时，，当时，，，

显然当时，函数必有一个零点，要想函数有两个零点，

只需，

而，所以不成立，

综上所述：，所以实数的取值范围为.