2023届山西省高三上学期第一次摸底数学试题含答案

这是一份2023届山西省高三上学期第一次摸底数学试题含答案，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学一、单选题1. ，，则（    ）A.  B.  C.  D. 答案：A解析：【分析】由根式的性质求定义域得集合，由二次函数性质求值域得集合，应用集合交运算求结果.【详解】由题设或，，所以.故选：A.2. 已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（    ）A.  B. C.  D. 答案：A解析：【分析】令，结合已知有，列方程求参数，进而求复数的模.【详解】若，则，而，由四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），所以，即，则，所以.故选：A.3. 已知平面向量，，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 答案：C解析：【分析】根据向量数量积、投影向量的定义求在方向上的投影向量.【详解】由在方向上的投影向量为.故选：C.4. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，若河流的宽度是，则此时气球的高度等于（    ）A.  B.  C.  D. 答案：B解析：【分析】在中，利用正弦定理求出，再根据气球的高度等于即可得解.【详解】在中，，则,,因为，所以，所以气球的高度为.
故选：B.5. 从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是合数的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 答案：B解析：【分析】根据至少一个合数分两类考虑：只有一个合数和两个都是合数，即可根据组合进行求解.【详解】区间内的整数共有个，则合数有，故至少有一个是合数的概率为故选：B.6. 函数在上不单调，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 答案：D解析：【分析】对求导，根据定义域上有正有负及三角函数的性质确定参数范围.【详解】由，而，要使在上不单调，则.故选：D.7. 水平放置等边三角形边长为，动点位于该平面上方，三棱锥的体积为，且三棱锥的外接球球心到底面的距离为，则动点的轨迹周长为（    ）A.  B.  C.  D. 答案：C解析：【分析】根据三棱锥的外接球球心到底面的距离为和的外接圆的半径，求得外接球的半径，再根据三棱锥的体积为，得到点到面的距离，从而得到动点的轨迹是一个截面圆的圆周，求解截面圆的半径及周长即可．【详解】设三棱锥的高为，因为三棱锥的体积为，所以，解得，设的外接圆的半径为，则，因为三棱锥的外接球球心到底面的距离为，所以外接球的半径为，因为点到面的距离为，所以动点的轨迹是一个截面圆的圆周，且球心到该截面的距离为，所以截面圆的半径为，所以动点的轨迹长度为.故选：C.8. 在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 答案：D解析：【分析】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果.【详解】由，要使最大只需到中点距离最大，又且，令，则，整理得，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，故，而，故.故选：D.二、多选题9. 已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（    ）A. B. 由表格数据知，该经验回归直线必过C. 变量，呈正相关D. 可预测当时，约为答案：A、B、C解析：【分析】由平均值求法及样本中心在回归直线上可得，即可判断A、B；根据回归直线系数判断C；应用回归直线估计对应，判断D.【详解】由题设，，则，又，故，则，A正确；由上知：样本中心为，回归直线必过该点，B正确；由回归方程知：，呈正相关，C正确；，D错误.故选：ABC.10. 如图，在所有棱长均为的正三棱柱中，点是棱的中点，，过点作平面与平面平行，则（    ）A. 当时，截正三棱柱的截面面积为B. 当时，截正三棱柱的截面面积为C. 截正三棱柱的截面为三角形，则的取值范围为D. 若，则截正三棱柱的截面为四边形答案：A、B、D解析：【分析】利用平面的基本性质画出不同对应的截面图形，结合已知求它们的面积判断各选项正误.【详解】A：时，过作与面平行的平面，即下图面且为中点，所以故上的高为，此时截面面积为，正确；B：时，过作与面平行的平面，即下图面且为中点，所以，则，故，此时截面面积为，正确；C：由B知：时，平面与的截面也为三角形，错误；D：若为中点，当在上（不含端点）时，即，利用平面的基本性质画出平面与的截面如下图示：结合上述分析：过程中，截面为四边形，正确；故选：ABD.11. 已知函数，则（    ）A. 存在，使得为奇函数B. 任意，使得直线是曲线的对称轴C. 最小正周期与有关D. 最小值为答案：A、B、C解析：【分析】举例，如，即可判断A；判断与是否相等，即可判断B；距离如和，即可判断C；令，则，利用换元法结合二次函数的性质即可判断D.【详解】对于A，当时，，因，所以函数为奇函数，所以存在，使得为奇函数，故A正确；对于B，，因为，所以函数关于对称，即任意，使得直线是曲线的对称轴，故B正确；对于C，当时，，最小正周期，当时，，因为，所以不是函数的周期，所以最小正周期与有关，故C正确；对于D，令，则，则，则有，当，即时，，当，即时，，当，即时，，所以，故D错误.故选：ABC.12. 已知函数，则（    ）A. 当或时，有且仅有一个零点B. 当或时，有且仅有一个极值点C. 若为单调递减函数，则D. 若与轴相切，则答案：A、D解析：【分析】根据零点的定义可得的零点即方程的根，利用导数研究函数的性质，结合图像判断A，由导数的几何意义判断D，根据导数与函数的单调性的关系求的范围，由此判断C，结合单调性与极值的定义判断B.【详解】令可得，化简可得，设，则，当，，函数在单调递减，当，，函数在单调递增，又，，由此可得函数图像如下：所以当或时，有且仅有一个零点所以当或时，有且仅有一个零点，A对，函数的定义域为，，若与轴相切，设与轴相切相切与点，则，，所以，所以，，故D正确；若为单调递减函数，则在上恒成立，所以在上恒成立，设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且，，当时，，由此可得函数的图像如下：所以若为单调递减函数，则，C错，所以当时，函数在上没有极值点，B错，故选：AD.三、填空题13. 二项式的展开式中含项的系数为，则_________．答案：解析：【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据已知项系数求参数即可.【详解】由二项式展开式通项为，且项的系数为，所以，可得.故答案为：14. 等差数列的前项和，则数列的通项公式为_________；的最小值为_________．答案：    ①.     ②. 解析：【分析】根据与的关系求出数列的通项，再根据数列是等差数列，求出，即可求得数列的通项，再利用二次函数的性质即可求出的最小值.【详解】由，当时，，当时，，则，又因为数列是等差数列，所以，所以，所以；则，又，所以当时，取得最小值.故答案为：；.15. ，，三个数中最小的是_________．答案：解析：【分析】将问题转化为比较、、的大小关系，应用作差法、对数的运算及对数函数性质比较大小即可.【详解】由，，，所以只需比较、、的大小关系即可，而，则，又，综上，最小数为，即最小.故答案为：.16. 已知抛物线，过点和点做两条斜率为的平行线，分别与抛物线相交于点，和点，，得到一个梯形．若存在实数，使得，则实数的取值范围为_________．答案：解析：【分析】写出直线的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出、，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，求出梯形的面积，得到与的关系式，结合的范围计算即可．【详解】设点，、，,代入可得：，所以所以，点到直线的距离为，，同理可求得：，，，，，，故答案为：．四、解答题17. 已知数列中，，，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案： 见解析解析：【分析】（1）根据等差数列的定义求出，从而可求出的通项，再利用累加法即可求出答案；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为是公差为的等差数列，所以，即，所以，则，所以，则，，，，累加得，所以；(2)，则.18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，为上一点，，．（1）若，求；（2）若，当面积取最小值时，求的值．答案：见解析解析：【分析】（1）利用正余弦定理及三角形内角性质求；（2）利用等面积法结合基本不等式可得面积取最小值时，再由余弦定理即可得解.【详解】（1）令，又，所以，即，则，即，又，则，故.（2）由三角形面积公式可得，且，所以，即，即，当且仅当时，等号成立，此时面积取最小值，此时，，所以当面积取最小值时，.19. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．（1）证明：；（2）若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．答案：见解析    解析：【分析】（1）由题设可得，利用面面垂直性质可得面，再由线面垂直的性质证；（2）若为中点，连接，首先求证，两两垂直，构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并令且，根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数，进而可得，再求面、面的法向量，应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值.【详解】（1）由题设，为等边三角形，则，又四边形为梯形，，则，在△中，，即，面面，面面，面，则面，又面，故.（2）若为中点，，则，面面，面面，面，则面，连接，则，且面，故，综上，，两两垂直，构建以为原点，为轴正方向的空间直角坐标系，所以，，，，若且，则，而面的一个法向量为，，所以，可得，故，所以，，，若是面的一个法向量，则，取，若是面的一个法向量，则，取，所以，由图知：锐二面角的余弦值.20. 高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：（1）为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这名学生中随机抽取名学生，再从这人中随机抽取名进行详细调查，求这名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于小时的概率；（2）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．答案：见解析解析：【分析】(1)根据表中数据，即可知人有人阅读时间大于，由组合即可求解概率，(2)将频率视为概率则，利用二项分布概率公式及不等式法求取得最大时对应的值．【详解】（1）抽取的人中，周阅读时间大于小时的有人，小于等于小时的有人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于小时的概率为（2）周阅读时间在小时的频率为，故概率为，则，所以，由得：，化简得解得，又，故，21. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是．（1）求椭圆的方程；（2）过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，证明：直线过定点．答案：见解析解析：【分析】（1）由内切圆半径与三角形面积关系、外接圆半径与弦长和弦心距关系列方程组求椭圆参数，即可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率都存在或一条斜率不存在，设直线方程、并联立椭圆，应用韦达定理用表示出，坐标，进而写出直线方程，即可证是否过定点.详解】（1）由题设，又，，若内切圆半径为，则外接圆半径为，所以，即，，而，即，综上，，即，可得，所以，，则.（2）当直线斜率都存在时，令为，联立，整理得：，且，所以，则，故，由，即，故为，联立，所以，有，则，故，所以，则为，整理得，所以过定点；当一条直线斜率不存在时对应，故即为x轴，也过定点；综上，直线过定点．22. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；（3）证明：存在两条直线，，使，既是曲线的切线，也是曲线的切线，且，斜率之积为．答案：见解析解析：【分析】（1）利用导数研究的区间单调性即可，注意定义域范围；（2）将问题转化为在上有两个零点且互为相反数，利用导数研究其零点分布，并判断零点的数量关系即可；（3）设与都相切的直线为，切点分别为，利用导数几何意义及斜率公式可得，进一步整理得，构造且，利用导数研究其零点个数及其数量关系即可.【详解】（1）由题设且，当时，，故递增，当时，，故递增，综上，递增区间.（2）要证有且仅有两实根，即证在上有两个零点，而，所以，故上，递减；上，递增；而上，，，所以存在使，综上，且上，上，所以在上递减，上递增，，，，，所以在上各有一个零点，为，所以，即，故，所以也是的零点，即，综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；（3）设与都相切的直线为，切点分别为，而，，则，且，，所以，将代入得：，又代入得：，整理得：，令且，则，，所以在上递增，而，，故存在时，则上，上，所以在上递减，上递增，趋向于时趋向于正无穷，故趋向于正无穷，而，，，所以存在两个零点，，即或，则，故，所以，即也是的一个零点，则，所以，综上，存在两条直线，且斜率之积为，得证.