高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 向量的数乘运算课时练习

课后素养落实(十五)　向量的数乘运算

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)

A．－a    B．－4b    C．c    D．a－b

A　[3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.]

2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝(　　)

A．b＋c   B．c－b

C．b－c     D．b＋c

A　[∵＝2，∴－＝2(－)，

∴3＝2＋

∴＝＋＝b＋c.]

3．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　)

A．    B．    C．2    D．

C　[作平行四边形ABEC，则M是对角线的交点，故M是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C.]

4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　)

A．4e2    B．4e1    C．3e1＋6e2    D．8e2

D　[3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.]

5．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[因为＝－＝－＝3e2－2e1，所以＝＝e2－e1.]

二、填空题

6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于________．

a－8b　[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.]

7．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________．(用a，b表示)

b－a　[＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a.]

8．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于________．

30°　[由＋＋＝0得，＋＝，

结合向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，又OA＝OB，

则四边形OACB为菱形，

所以△OAC是正三角形，

所以∠CAO＝60°

所以∠CAB＝∠CAO＝30°]

三、解答题

9.如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．

(1)；(2).

[解]　因为∥，||＝2||，所以 ＝2，＝.

(1)＝＋＝e2＋e1.

(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.

10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.

[解]　如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.

在△ABC中，EP是中位线，

所以＝＝a.

在△ABD中，FP是中位线，所以＝＝－＝－b.

在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b).

11．设D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　)

A．     B．

C．     D．

D　[∵D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，

∴＋2＋3

＝＋2＋3

＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝]

12．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)

A．|a|＝|b|且a∥b  B．a＝－b

C．a∥b     D．a＝2b

D　[由a＝2b，得＝＝＝，故选D.]

13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝________．

a＋b　[∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，

∴DF＝AB，∴＝＋＝＋.

∵＝＋＝a，＝－＝b，

联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，

∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.]

14．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．

　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]

15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示.

[解]　连接CD，OD，如图所示．

∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，

∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°.

∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.

由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，

∴AC∥DO.

由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，

∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，

∴四边形ACDO为平行四边形，

∴＝＋＝＋.