高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课后作业题

课后素养落实(二十八)　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于(　　)

A．－　 B．－

C．     D．

C　　[sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°

＝sin (10°＋20°)＝sin 30°＝，故选C.]

2. tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为(　　)

A．2     B．2

C．     D．0

C　[∵tan (23°＋97°)＝＝tan 120°＝－，

∴tan 23°＋tan 97°＝－＋tan 23°tan 97°，

∴原式＝tan 23°tan 97°－(－＋tan 23°tan 97°)＝.]

3．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　)

A．     B．－

C．     D．－

A　[sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)

＝sin A cos B＋cos A sin B＝(cos B＋)

＝×＝.]

4．已知0<α<<β<π，又sinα＝，cos (α＋β)＝－，则sin β等于(　　)

A．0     B．0或

C．     D．0或－

C　[∵0<α<<β<π，sin α＝，cos (α＋β)＝－，

∴cos α＝，sin (α＋β)＝或－.

∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝或0.

∵<β<π，∴sin β＝.]

5．已知α∈，sin ＝，则sin α等于(　　)

A．      B．

C．－或     D．－

B　[由α∈，得<α＋<，

所以cos ＝－＝

－＝－.

所以sinα＝sin ＝sin cos －cos sin

＝×＝，故选B.]

二、填空题

6. ＝________．

　[原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.]

7．设α为锐角，若cos ＝，则sin ＝________．

　[因为α为锐角，所以<α＋<.

又cos ＝，所以sin ＝.

所以sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.]

8．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________．

　[∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，

∴tan B＝，

∴tan (A＋B)＝＝＝1.

又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝.]

三、解答题

9．已知tan ＝.

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

[解]　(1)∵tan＝，∴＝，∴2＋2tan α＝1－tan α，∴tan α＝－.

(2)＝tanα－＝－－＝－.

10．若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．

[解]　因为α∈，所以2α∈.

又sin 2α＝>0，

故2α∈，所以α∈，且cos 2α＝－.

又β∈，所以β－α∈，α＋β∈，

于是cos (β－α)＝－，

所以cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)

＝×－×＝，

故α＋β＝.

11．已知cos ＋sin α＝，则sin 的值为(　　)

A．－     B．

C．－     D．

C　[∵cos ＋sin α＝，

∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝，

∴cos α＋sin α＝，

即cos α＋sin α＝，

∴sin ＝.

∴sin ＝－sin ＝－.]

12．已知sin ＋sin α＝，则sin 的值是(　　)

A．     B．－

C．     D．－

A　[由题意得sin ＋sin α＝(sin α＋cos α)＋sin α＝sin α＋cos α＝sin (α＋)＝，所以sin ＝.故选A.]

13．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________．

－　[由题意知：tan α＋tan β＝3，tan α tan β＝－3，∴＝＝＝＝－.]

14．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．

－　[∵sin α＋cos β＝1， ①

cos α＋sin β＝0， ②

∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，

∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，

∴sin (α＋β)＝－.]

15．已知函数f(x)＝A sin ，x∈R，且f ＝.

(1)求A的值；

(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f .

[解]　(1)由f ＝A sin ＝A sin ＝＝，可得A＝3.

(2)f(θ)－f(－θ)＝，

则3sin －3sin ＝，

即3－3＝，

故sin θ＝.因为θ∈，

所以cos θ＝，所以f ＝3sin ＝3sin ＝3cos θ＝.