数学必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式巩固练习

课后素养落实(三十)　积化和差与和差化积公式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．cos 15° sin 105°＝(　　)

A．＋     B．－

C．＋1     D．－1

A　[cos 15°sin 105°＝[sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)]

＝[sin 120°－sin (－90°)]＝×＋×1＝＋.]

2．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为(　　)

A．0    B．    C．    D．1

A　[原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.]

3．＝(　　)

A．    B．    C．2    D．4

C　[原式＝＝＝＝2.]

4．若cos x cos y＋sin x sin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin (x＋y)＝(　　)

A．    B．－    C．    D．－

A　[因为cos x cos y＋sin x sin y＝，

所以cos ＝，

因为sin 2x＋sin 2y＝，

所以2sin cos ＝，

所以2sin ·＝，所以sin (x＋y)＝，故选A.]

5．函数y＝sin cos x的最大值为(　　)

A．    B．    C．1    D．

B　[y＝sin cos x

＝

＝＝sin －.

 ∴ymax＝－＝.]

二、填空题

6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．

2sin sin 　[cos 2α－cos 3α＝－2sin sin ＝－2sin sin ＝2sin sin .]

7．sin ·cos 化为和差的结果是________．

cos (α＋β)＋sin (α－β)　[原式＝[sin (＋α＋β)＋sin ]＝cos (α＋β)＋sin (α－β).]

8.＝________．

　[原式＝＝＝.]

三、解答题

9．求下列各式的值：

(1)sin 54°－sin 18°；

(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.

[解]　(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°

＝2·＝＝＝＝.

(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°

＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)

＝2××cos 26°＋＋cos 26°

＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.

10．在△ABC中，若B＝30°，求cos A sin C的取值范围．

[解]　由题意，得

cos A sin C＝[sin (A＋C)－sin (A－C)]

＝[sin (π－B)－sin (A－C)]＝－sin (A－C).

∵B＝30°，

∴－150°＜A－C＜150°，

∴－1≤sin (A－C)≤1，

∴－≤－sin (A－C)≤.

∴cos A sin C的取值范围是.

11．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝(　　)

A．－    B．    C．    D．

B　[cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°

＝＋cos 80°－cos 80°＝.]

12.＝(　　)

A．    B．    C．    D．1

B　[原式＝

＝＝tan 30°＝，故选B.]

13．函数y＝cos cos 的最大值是________．

　[y＝

＝＝－cos 2x，

因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.]

14．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则tan 的值为________，α－β的值为________．

　　[∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0，

∴cos β－cos α>0，

∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数，

∴β<α，0<α－β<π，由原式可知：

2sin cos

＝，

∴tan ＝，∴＝，∴α－β＝.]

15．若sin α＋cos β＝，cos α＋sin β＝，求tan 的值．

[解]　令θ＝－β，则sin α＋sin θ＝，cos α＋cos θ＝ ，

由和差化积公式得，2sin cos ＝，

2cos cos ＝，

两式相除得，tan ＝，

即tan ＝，

tan (＋)＝，

所以＝，

解得tan ＝－.