北师大版高中数学必修第二册课后素养落实37复数的三角表示含答案 试卷

课后素养落实(三十七)　复数的三角表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．复数cos －isin 的辐角主值为(　　)

A. － 　　 B．

C.    D.

D　[因为cos －isin ＝cos ＋isin ，所以复数cos －isin 的辐角主值为.]

2．下列复数是复数的三角形式的是(　　)

A. －3 B．3

C. cos ＋isin    D. cos ＋isin

D　[由复数的三角形式的定义可知cos ＋isin 是复数的三角形式，故选D.]

3．把复数－3＋3i化为三角形式为(　　)

A．6   B．6

C．6 D．6

B　[－3＋3i＝6(cos ＋isin ).]

4．设z1＝cos ＋isin ，z2＝3，则z1·z2＝(　　)

A. ＋i     B．－i

C. －＋i  D．－－i

C　[z1·z2＝3＝3＝－＋i.]

5．设z1＝4，z2＝cos ＋isin ，则＝(　　)

A. 2＋2i     B．－2＋2i

C. －2－2i  D．2－2i

D　[＝

＝4＝2－2i.]

二、填空题

6．把复数3＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为________．

2　[复数3＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(3＋i)[cos ＋isin (－)]＝(3＋i)＝2.]

7．计算：＝________．

64　[＝64(cos 0＋isin 0)＝64.]

8．计算：2i÷＝________．

1＋i　[2i÷

＝2÷

＝2＝1＋i.]

三、解答题

9．计算下列各式的值：

(1)(1＋i)；

(2)÷.

[解]　(1)(1＋i)＝(cos ＋isin )

＝(cos 3π＋isin 3π)

＝＝－1－i.

(2)÷＝8＝－4－4i.

10．已知复数z＝1＋i，求复数的模和辐角主值．

[解]　因为z＝1＋i，

所以＝＝＝＝1－i＝，

所以复数的模为，辐角主值为.

11．设z1＝cos －isin ，z2＝cos ＋isin ，则z1·z2＝(　　)

A. 1     B．－1

C. －－i   D．－＋i

D　[因为z1＝cos －isin ＝cos ＋isin ，z2＝cos ＋isin ，

所以z1·z2＝cos ＋isin ＝－＋i.]

12．计算2(cos 75°＋isin 75°)÷的值为(　　)

A. 1＋i     B．＋i

C. －－i  D．＋i

D　[2(cos 75°＋isin 75°)÷

＝2(cos 75°＋isin 75°)÷

＝(cos 45°＋isin 45°)＝＋i.]

13．复数z＝1＋cos θ＋isin θ(0<θ<π)的模是________，辐角主值是________．

2cos 　　[z＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋2cos2－1＋2isincos ＝2cos ，因为0<θ<π，所以0<<，所以复数z的模是2cos ，辐角主值是.]

14．若θ＝10°，则＝________．

－＋i　[

＝

＝

＝cos (－21θ)＋isin (－21θ)

＝cos (－210°)＋isin (－210°)＝－＋i.]

15．若OZ1与OZ2分别表示复数z1＝1＋2i，z2＝7＋i，求∠Z2OZ1，并判断三角形Z2OZ1的形状．

[解]　如图，＝＝＝，

所以∠Z2OZ1＝，且＝，

由余弦定理，设|OZ1|＝k，|OZ2|＝2k(k>0)，

|Z1Z2|2＝k2＋4k2－2k×2k×cos ＝3k2，所以|Z1Z2|＝k，

而k2＋(k)2＝(2k)2，所以三角形Z2OZ1为有一锐角为60°的直角三角形．