北师大版高中数学必修第二册微专题强化练1平面向量数量积的综合应用含答案

微专题强化练(一)　平面向量数量积的综合应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)

A．150°    B．120°    C．60°    D．30°

B　[由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2⇒2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2⇒cos θ＝－⇒θ＝120°.]

2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)

A．－2    B．－1    C．1    D．2

B　[因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，

所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.]

3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　)

A．16    B．256    C．8    D．64

A　[法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.

法二：由题意知2a＝b，

∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.]

4．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　)

A．e1在e2方向上的投影数量为cos θ

B．e＝e

C．(e1＋e2)⊥(e1－e2)

D．e1·e2＝1

ABC　[因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，

则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影数量为|e1|cos θ ＝cos θ，故A正确；

e＝e＝1，故B正确；

(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，

故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；

e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误．]

5．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)

A．1    B．2    C．3    D．5

A　[∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①

|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②

由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.]

二、填空题

6．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．

等边三角形　[·＝||||cos ∠BAC，

即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，

因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.

又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]

7．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________．

　[∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.]

8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos ∠BAC＝，＝2，则·＝________．

－　[根据条件：

＝＋＝＋＝＋(－)

＝＋；

所以·＝(＋)·(－)

＝·－2＋2

＝×3×3×－×9＋×9＝－.]

三、解答题

9．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.

[解]　a·b＝|a||b|cos ＝5×5×＝.

|a＋b|＝＝

＝＝5.

|a－b|＝＝

＝＝5.

10．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

[解]　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，

∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.

|a|＝|2m＋n|＝＝

＝＝，

|b|＝|2n－3m|＝

＝

＝＝，

a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2

＝－6×1＋2×1＝－.

设a与b的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝－.

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.