2022-2023学年河南省部分学校联考高二上学期阶段性测试

  2022—2023学年高二年级阶段性测试（一）

数  学

一、选择题

1. 已知两点所在直线的倾斜角为,则实数的值为（    ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】

根据两点坐标,列出斜率表达式,然后根据倾斜角得到斜率,列出方程求解即可.

【详解】

因为两点所在直线的倾斜角为,

则,即

故选:A.

2. 已知菱形的对角线与轴平行,,,则点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

根据菱形对角线互相垂直可知轴,则可设,由可构造方程求得结果.

【详解】

四边形为菱形,轴,轴,可设,

,,

解得：（舍）或,.

故选：A.

3. 已知向量,分别为平面的法向量,则平面与平面的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据两平面夹角的向量求法可直接求得结果.

【详解】

,

又平面与平面的夹角的取值范围为,平面与的夹角为.

故选：C.

4. 已知直线,当原点到距离最大时,的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

首先求出直线过定点,然后当时,原点到的距离最大,即可求出答案.

【详解】

由可得,

由可得,所以直线过定点,

当时,原点到的距离最大,

因为,所以直线的斜率为,

所以直线的方程为,即,

故选：A.

5. 若直线,,能围成一个三角形,则须满足（    ）

A. 且 B. 且

C. 且 D. 且

答案：

D

解析：

【分析】

由已知可得三条直线两两均不平行,且不过直线与直线的交点.

【详解】

由已知可得三条直线两两均不平行,

所以且,即且,

又直线与直线的交点为,

且直线不过恒成立,

故选：D.

6. 若直线过点,则当取最小值时．直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

由已知得,根据基本不等式“”的代换可得的最小值,即取最小值时与的值,进而得解.

【详解】

由直线过点,

则,

所以,

当且仅当,即,时,等号成立,

所以直线方程为,即,

故选：C.

7. 如图所示,在平行六面体中,分别为,,的中点．若,,,则向量可用表示为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据向量的线性运算,利用基底表示所求向量即可.

【详解】

由题意,,

且,

,

故选：B.

8. 在三棱锥中,,,,,,则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据向量的线性运算可得,结合向量数量积的运算律可得,即可得解.

【详解】

由已知的,

所以,

所以,

故选：C.

9. 已知四点在平面内,且任意三点都不共线,点为平面外的一点,满足

,则（    ）

A. B. C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

根据空间向量四点共面定理即可求解.

【详解】

因为四点在平面内,且点为平面外的一点,

而,

由共面向量基本性质拓展知：，

所以,解得.

故选：A.

10. 已知正四棱柱的底面边长为,侧棱长为为的中点,则点到平面的距离为（    ）

A.  B. C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.

【详解】

如图,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,

则,,,,

所以,,,

设平面的法向量为,

则,令,则,即,

则点到平面的距离.

故选：D.

11. 已知四棱锥的底面为矩形,平面,直线与平面所成角的正弦值为,则四棱锥的体积为（    ）

A. B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据题意建立如图空间直角坐标系,利用向量法求出与平面的线面角,进而求出,结合四棱锥的体积公式计算即可.

【详解】

因为平面,平面,所以,

又为矩形,则,所以建立如图所示的空间直角坐标系,

设,由,

得,

则,

设平面法向量为,

则,令,

得,,所以,

又,与平面的线面角的正弦值为,

所以,

解得,则,又,

所以.

故选：B.

二、多选题

12. 在空间直角坐标系中,已知点则与垂直的向量的坐标可以为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

B、D

解析：

【分析】

由向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

,设与垂直,

则有,

即有,

由选项可知：只有BD满足上式.

故选：BD.

三、填空题

13. 若直线与直线互相平行,则实数_________．

答案：

解析：

【分析】

根据两直线平行即可直接求出参数.

【详解】

当时,,两直线不平行；

当时,由,得,解得.

故答案为：.

14. 已知直线,直线经过点,若以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形,则直线的方程为___________．

答案：

解析：

【分析】

由图象可知直线与的的斜率互为相反数,然后用点斜式求出直线的方程.

【详解】

因为以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形,则直线与的倾斜角互补,则直线与的的斜率互为相反数,即.所以直线的方程为,即.

故答案为：.

15. 材料：在空间直角坐标系中,经过点且法向量的平面的方程为,经过点且方向向量的直线方程为．

阅读上面材料,并解决下列问题：平面的方程为,直线的方程为,则与的交点坐标为_________,与所成角的正弦值为_________．

答案：   

①.     ②.

解析：

【分析】

根据材料结合已知条件求得平面的法向量以及直线的方向向量,即可用向量法求得线面角.

【详解】

（1）因为平面的方程,即,故平面经过点,且法向量；

又直线的方程为,即,故直线经过点且方向向量.

则与的交点坐标为.

（2）设直线与平面所成的角为,则.

故答案为：；.

16. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的棱形,,．,,则________．

答案：

解析：

【分析】

取中点,连接,,根据线面位置关系求得各边长,再由余弦定理可得解.

【详解】

如图所示,

取中点,连接,,

,,

又,,

,,

,

又,且,平面,

平面,

又平面,

,

,,

,

设,,

在中,由余弦定理得,

在中,由余弦定理得,

即,解得,

所以,

故答案为：.

三、解答题

17. 分别求出满足下列条件的直线的方程：

（1）经过直线和的交点,且与直线垂直；

（2）过点,且在轴上的截距是在轴上的截距的倍．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）先求出两直线交点坐标,然后根据垂直可得斜率,再结合点斜式方程即可得到结果.

（2）分截距为与截距不为两种情况讨论,当截距为时,即过原点,从而得到直线方程,当截距不为的时,结合截距式即可得到结果.

【详解】

（1）由,解得∴和的交点为．

∵的斜率为,而直线与直线垂直,∴直线的斜率为,

∴直线的方程为,即．

（2）当在轴和轴上的截距均为时,可设的方程为,把点代入可得,此时直线的方程为；

当在轴和轴上的截距均不为时,可设的方程为,把点代入可得,得,此时直线方程的一般式为．

综上可得的方程为或．

18. 如图所示,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,且平面,分别为棱的中点．

（1）用向量表示；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据图形关系,利用向量加减法和数乘运算进行转化即可；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系,利用异面直线所成角的向量求法直接求解即可.

【详解】

（1）.

（2）以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,

则,,,,,,

,

即异面直线与所成角的余弦值为.

19. 已知过原点的两条直线相互垂直,且的倾斜角小于的倾斜角．

（1）若与关于直线对称,求和的倾斜角

（2）若都不过点,过分别作为垂足,当的面积最大时．求的方程．

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)先求直线的倾斜角,结合图形及倾斜角的定义求出,的倾斜角；(2) 设,,根据基本不等式证明的面积最大时,结合点到直线距离公式求的斜率,由此可求其方程.

【详解】

（1）直线的倾斜角为．

∵,关于直线对称,且,

∴,与直线的夹角均为,

∴,的倾斜角分别为和．

（1）∵,,,∴四边形为矩形．

设,,则,

,当且仅当时取等号．

若的斜率不存在,则的倾斜角为,由直线相互垂直可得的倾斜角为,与已知矛盾,所以的斜率存在,设,则点到的距离为,

令,得（负值舍去）．

∴当的面积最大时,的方程为．

20. 在中,已知的平分线所在的直线方程为．

（1）求点的坐标；

（2）求的面积．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据关于直线的对称点一定在直线上,即可求得直线的斜率以及方程,与联立即可求得点的坐标；

（2）求出点到直线：的距离,利用两点间距离公式计算,再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】

（1）关于的平分线的对称点为,则直线为线段的中垂线,

∴解得即,

再由,在直线上,可得,

所以直线的方程为,即．

由解得可得点的坐标为,

（2）∵,,∴,

∴直线的方程为,即,

则点到直线的距离为,

而,

∴的面积为．

21. 如图所示,在三棱锥中,平面,点分别在棱上,满足,且．

（1）求实数的值；

（2）若,求直线与平面所成角的正弦值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)先证明,建立空间直角坐标系求的坐标,由垂直关系的向量表示列方程求的值；(2)由条件求直线的方向向量和平面的法向量,利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值．

【详解】

（1）∵平面,平面,∴,

又∵,,平面,∴平面,平面,∴．

由条件可知两两互相垂直,故以为坐标原点,以所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,．

所以,

因为,所以,,,

所以,∴．

∵,,

∴.

∴．

由,

解得．

（2）由（1）及条件可得,,,,．

设平面PDE的法向量为,

则令,得,,所以．

又,

∴,

∴直线与平面所成角的正弦值为．

22. 如图所示,三棱台的体积为,其上、下底面均为正三角形,平面平面且,棱与的中点分别为．

（1）证明：平面；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求平面与平面的夹角的余弦值．

答案：

见解析   

解析：

【分析】

(1)根据题意建立如图空间直角坐标系,求出各点和各向量的坐标,利用向量法求出平面的法向量,结合即可证明；

(2)结合(1),利用向量法直接求出线面距；

(3)求出平面的法向量,利用向量法即可求出面面角.

【详解】

(1)由题意得上底面面积为,下底面面积为,

设三棱台的高为,则,得．

设中点为,如图,连接,由条件可知两两互相垂直,

以为坐标原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．

由已知可得,,,

∴,,

设平面的法向量为,

则,令,可得．

由,可得,

∴,又平面,∴平面．

（2）由（1）知平面，直线到平面的距离即点到平面的距离．

∵,∴．

（3）设平面的法向量为,

由,,可得,,

∴,令,得．

∴,

平面与平面的夹角取值范围为，

∴平面与平面的夹角的余弦值为．