高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 探究A对y=Asin（wx+φ）的图象的影响同步练习题

课后素养落实(九)　函数y＝Asin的性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f＝sin 的图象(　　)

A．关于直线x＝对称

B．关于点对称

C．关于直线x＝－对称

D．关于点对称

B　[因为f＝sin ＝sin π＝0，

所以函数f的图象关于点对称．]

2．函数y＝3sin 的单调递减区间是(　　)

A．

B．

C．

D．

C　[y＝3sin ＝－3sin ，

∴y＝3sin 的递减区间就是y＝sin 的递增区间．

由2kπ－ ≤3x－ ≤2kπ＋(k∈Z)，得－ ≤x≤ ＋(k∈Z).]

3．函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　)

A．    B．1    C．    D．

A　[因为cos ＝cos ＝sin ，

所以f(x)＝sin ＋sin

＝sin ，

所以，函数f(x)的最大值为.]

4．设M和m分别表示函数y＝sin 2x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)

A．    B．－    C．－    D．－2

D　[因为ymax＝－1＝－，ymin＝×(－1)－1＝－，所以M＋m＝－－＝－2.]

5．已知直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[由题意知：－＝，即＝π，T＝2π.

又T＝＝2π，所以ω＝1，

所以f(x)＝sin (x＋φ)，

因为x＝是函数的对称轴，所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ，k∈Z.

又因为0<φ<π，

所以φ＝，检验知此时x＝也为对称轴，故选A.]

二、填空题

6．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________．

[答案]　±2

7．函数y＝－2sin 的图象与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．

　[函数y＝－2sin 的图象与x轴相交．

∴4x＋＝kπ，∴x＝－＋(k∈Z).

当k＝1时，交点离原点最近坐标为.]

8．函数f(x)＝3sin 的图象为C，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号).

①图象C关于直线x＝对称；

②图象C关于点对称；

③函数f(x)在区间x∈内是增函数；

④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

①②③　[由于2× －＝，故①正确；

由于2× －＝π，故②正确；

由x∈得2x－∈，故函数f(x)在[－，]内为增函数，故③正确；

将函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可得函数y＝3sin 2＝3sin 的图象，故④不正确．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝－2a sin ＋b的定义域为，值域为[－5，4]，求常数a，b的值．

[解]　f(x)＝－2a sin ＋b，

∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin ∈，

则当a＞0时，∴a＝3，b＝1.

当a＜0时，∴a＝－3，b＝－2.

10．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为.

(1)求函数解析式；

(2)指出函数的递增区间；

(3)求使y≤0的x的取值范围．

[解]　(1)∵图象最高点坐标为，∴A＝5.

∵＝－＝，∴T＝π.∴ω＝＝2.

∴y＝5sin (2x＋φ).代入点，得sin ＝1.∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.

令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin .

(2)∵函数的递增区间满足2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－ ≤2x≤2kπ＋(k∈Z).

∴kπ－ ≤x≤kπ＋(k∈Z).

∴递增区间为k∈Z.

(3)∵5sin ≤0，

∴2kπ－π≤2x－ ≤2kπ(k∈Z).

∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z).

∴y≤0时，x的取值范围为，k∈Z.

11．(多选题)关于f(x)＝4sin (x∈R)，其中正确的是(　　)

A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍

B．y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos

C．y＝f(x)图象关于对称

D．y＝f(x)图象关于x＝－对称

BC　[对于A，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)，

∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴A错；

对于B，f(x)＝4sin 利用公式，得

f(x)＝4cos ＝4cos ，

∴B对；

对于C，f(x)＝4sin 的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.

∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴C对；

对于D，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴D错．故选BC.]

12．函数f＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)

A.      B.

C.      D.

A　[由函数y＝sin (ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1知，f在区间上单调递减，且T＝－＝，则T＝π，ω＝＝＝2，即f＝sin (2x＋φ)，

又f＝sin (ωx＋φ)的图象过点，代入可得φ＝，因此f＝sin ，

令x＝0，可得y＝，故选A.]

13．已知函数y＝sin 在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为________．

8　[T＝6，则≤t，如图，

∴t≥，∴tmin＝8.]

14．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．

2　[由 ≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.]

15．已知方程sin ＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的取值范围．

[解]　令y1＝sin ，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图象(0≤x≤π)，

由图象可知，当1≤k＜时，直线y2＝k与曲线y1＝sin 在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k＜时，原方程有两个解．