绵阳南山中学2023年三月高三月考数学（文科）试题含答案解析

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2023年3月绵阳南山中学2023年春高三下期3月月考数学试题(文科)命题人：李若虚      审题人：郑  瑜本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共 4 页；答题卷共 6页，满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、     选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（    ）  A．2 B． C． D．3．下列说法中正确的是　　A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题C．命题“”的否定为：“，”D．直线l不在平面内，则“l上有两个不同的点到的距离相等”是“”的充要条件4．向量，，若∥，则实数a＝（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．45．通过加强对野生动物栖息地的保护，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量。当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）（    ）A．9 B．10 C．11 D．126．已知等差数列的前项和为，，若，则（    ）A．10 B．11 C．12 D．137．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件为（    ）A． B．     C．      　 D． （7题图）              （8题图）8．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B．           C． D．9．已知函数，现有如下说法：，；，函数的图象关于原点对称；若，则的值可以为；，，若，则．则上述说法中，正确的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知奇函数在R上是增函数，．，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D． 12．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线和直线垂直，则实数的值为_________．14．实数满足不等式组，则的最小值为__________．15．已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为___________．16．如图，若点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点，点为棱上的一点，且，，则动点的轨迹的长度为_____________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知，设函数．（1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；（2）设的内角的对应边分别是且，，求的值．18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩的使用量(千克)之间的对应数据的散点图如图所示．(1)从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数r并判断它们的相关程度；(2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量．附： ，，. 19．如图，在四棱锥中，和都是等边三角形，平面平面，且，．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积．20．在平面直角坐标系xOy中：①已知点A(，0)，直线，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比；②已知点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|=3，动点P满；③已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点到直线l的距离分别为动点P满足 ．（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（2）记（1）中动点P的轨迹为E，经过点D(1，0)的直线交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．21．已知函数，．(1)试求函数的单调区间；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．选考题：（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求的普通方程和的极坐标方程；　（2）求曲线上的点到曲线距离的最小值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求函数的最小值；（2），不等式恒成立，求实数的取值范围．绵阳南山中学2023年春高三下期3月月考文科数学答案一、选择题：1—4．DCCB   5—8．CBCA    9—12．CADB7．由题意得：解得，即当时，满足判断框内的条件，时，不满足判断框内的条件，结束运行，所以判断框内应填入的条件是“？”，故选：C．8．设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为．∴所求的概率为P= ．故选A．9．函数．对于，令，解得，此时，，，正确；对于，，结合函数的图象知，，函数的图象关于原点对称，错误；对于，若，则，的值为，可以为，正确；对于，当，时，，满足，正确；综上，正确的命题序号是．故选C．10．奇函数在上是增函数，则当时，，且，则，在单调递增，且偶函数，则，，则，故选：A．11．，即，，，　，，，故选：D．12．因为函数，，在区间上是单调减函数，所以，，在区间上是单调增函数，所以，由于使得，所以当时，或，解得或．所以当时，得．故选：B．二、填空题：　13．      14．      15．       16．16．【分析】由题意画出图形，上取点，使得，连接，由线面垂直的判定定理和性质，可得平面，所以点的轨迹为平面与球的截面圆周，求出截面圆的半径即可得出答案如图所示，在上取点，使得，连接，,  又平面，又，平面，平面，平面，又点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点且，可得点的轨迹为平面与球的截面圆周．连接,则．　又又在平面，则到平面的距离：又设到平面的距离为，则，解得：又正方体的内切球得半径则截面圆的半径因此可得动点的轨迹的长度为．故答案为：．三、解答题： 17．解：（1）由题知：，，∴当，即，得时，取得最大值0当，即，得时，取得最小值．（2），即，又，则．由余弦定理A得，解得：或．另解：且，由正弦定理有，则或当时．，由勾股定理有；当时，，则综上所解：或．18．解：(1)由题知：＝＝5，＝＝5所以y与x程正线性相关，且相关程度很强．所以y关于x的线性回归方程为＝1.5＋0.7x当x＝12时，＝1.5＋0.7×12＝9.9所以预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量为9.9百千克．19．（1）证明：由等边三角形可得在中，，，，可得，，所以即，又平面平面，平面平面可得平面．（2）取的中点，连接，如图所示：由等边三角形，可得，.又平面平面，平面平面，可得平面所以四棱锥的体积为．20．（1）若选①：设P(x，y)，根据题意，得整理可得：，所以动点P的轨迹方程为．若选②：设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则＝3，(I)因为，所以整理，得代入(I)得：，所以动点P的轨迹方程为．若选③：设P(x，y)，直线l与圆相切于点H，则|PA|＋|PB|＝d1＋d2＝2|OH|＝4>2＝|AB|由椭圆的定义，知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆所以2a＝4，2c＝|AB|＝2，故a＝2，c＝，b＝1所以动点P的轨迹方程为．（2）设Q(0，y0)，当直线l′的斜率不存在时，y0＝0当直线l′的斜率存在时，设直线l′的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为G(x3，y3)．由，得所以线段MN的垂直平分线的方程为令x＝0，得y0＝－3y3．由，得由>0得，所以0<≤，则－≤y3<0或0<y3≤，所以≤y0<0或0<y0≤．综上所述，点Q纵坐标的取值范围是．21．解：(1)因为，（，）则①若，则，即在区间上单调递减②若，则当时， ；当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增③若，则当时，；当时， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减综上所述，若，函数在区间上单调递减；若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)根据题意得令．因为，则，即于是，由，得即对任意恒成立 设函数（），则当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以于是，可知，解得．故，实数的取值范围是．22．（1）由,所以，代入，整理化简得：因为中，所以，即的普通方程为：.由得：，所以的普通方程为：把代入，整理化简得：所以的极坐标方程为： ．(2)设上任意一点坐标，设P到的距离d，则其中时，当， 取得最小值．23．解：（1）由题知　易知当时，单调递减；当时，单调递增所以，即有最小值，无最大值． （2），不等式恒成立，即整理得：对于恒成立设，则所以函数的最小值是所以，即实数的取值范围是．