课后素养落实(十九)　复数的三角表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．复数－i的三角形式是(　　)

A．cos＋isin

B．cos＋isin

C．cos－isin

D．cos＋isin

A　[－i＝cosπ＋isinπ

＝cos＋isin

＝cos＋isin．]

2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　　)

A．150°　　　　B．40°　　　　C．－40°　　　　D．320°

D　[sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°．]

3．2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝(　　)

A．＋i   B．－i

C．＋i   D．－i

B　[2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 0°＋isin 0°)÷2(cos 60°＋isin 60°)＝cos(0°－60°)＋isin(0°－60°)

＝cos(－60°)＋isin(－60°)＝－i．故选B．]

4．(cos 30°＋isin 30°)×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°)＝(　　)

A．＋i   B．－i

C．－＋i   D．－－i

C　[(cos 30°＋isin 30°)×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°)＝×2×3[cos(30°＋60°＋45°)＋isin(30°＋60°＋45°)]＝3(cos 135°＋isin 135°)

＝3＝－＋i．故选C．]

5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)

A．

B．

C．

D．

A　[因为1＋i＝，

cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，

所以(1＋i)(cos θ－isin θ)

＝

＝．]

二、填空题

6．2(cos 15°＋isin 15°)×5＝________．

5＋5i　[2(cos 15°＋isin 15°)×5＝

2(cos 15°＋isin 15°)×5(cos 30°＋isin 30°)＝10[cos(15°＋30°)＋isin(15°＋30°)]＝10(cos 45°＋isin 45°)＝

10＝5＋5i．]

7．4(cos 300°＋isin 300°)÷的虚部为________．

－1　[原式＝4÷＝2＝

2×(－cos＋isin)＝2×＝－(＋1)＋(－1)i，故虚部为－1．]

8．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．

1－i　[(1＋i)

＝

＝

＝＝1－i．]

三、解答题

9．在复平面内，设O为坐标原点，点A，B所对应的复数分别为z1，z2，且z1，z2的辐角主值分别为α，β，模长均为1．若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．

[解]　由题意，可知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β．

∵△AOB的重心G对应的复数为＋i，

∴＝＋i，即

∴

∴tan ＝，

∴tan(α＋β)＝＝．

1．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　)

A．1    B．－1    C．－    D．－

B　[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，

所以所以a＝－1，故选B．]

2．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为(　　)

A．2π－3θ   B．3θ－2π

C．3θ   D．3θ－π

B　[＝＝cos 3θ＋isin 3θ．

因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜，

所以π＜3θ－2π＜，故选B．]

3．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z1，Z2，Z3对应的复数分别为z1，z2，z3，且z2＝1＋i，则z1＝________，z3＝________．(用代数形式表示)

＋i　＋　[根据题意画出草图，如图所示．

由复数运算的几何意义知

z1＝·z2·

＝(1＋i)

＝＋i，

z3＝·z2·

＝(1＋i)

＝＋i．]

4．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为________．

z＝2　[由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i．

因为arg z∈，所以z＝－1－i应舍去，

所以z＝－1＋i＝2．]

把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．

[解]　由复数乘法的几何意义得

z1＝z2，

因为z2＝－1－i＝2，

所以z1＝

＝2

＝2

＝－＋i，

所以z1的辐角的主值为．