课后素养落实(四十七)　事件的相互独立性

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”

B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”

D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”

A　[把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A．]

2．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

C　[设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)＝＝，P(B)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P＝P(A)P(B)＝×＝．]

3．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)

A．0.56    B．0.92    C．0.94    D．0.96

C　[∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94．]

4．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝．]

5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．

设P(A)＝x，P(B)＝y，则即∴x2－2x＋1＝，

∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝．]

二、填空题

6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．

　[设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝．]

7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A )＝________；P()＝________．

　　[∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝，∴P(A )＝P(A)P()＝×＝，

P( )＝P()P()＝×＝．]

8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．

0.24　0.96　[由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．]

三、解答题

9．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；

(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．

[解]　记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1,2,3)，

依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．

(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件12A3，且这三次试跳相互独立．

∴P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063．

(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C．

P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88．

10．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．

甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，甲、乙、丙每部分考试是否合格互不影响，且三人两部分考试结果也互不影响．

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性更大？

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．

[解]　(1)记事件A＝“甲获得合格证书”，事件B＝“乙获得合格证书”，事件C＝“丙获得合格证书”，则

P(A)＝×＝，

P(B)＝×＝，

P(C)＝×＝．

因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性更大．

(2)设事件D＝“三人考试后恰有两人获得合格证书”，则

P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)

＝××＋××＋××

＝，

即甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书的概率为．

1．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[设事件G＝“C闭合”，事件H＝“D闭合”，事件T＝“A与B中至少有一个不闭合”，事件R＝“E与F中至少有一个不闭合”，则P(G)＝P(H)＝，P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()·P()＝．]

2．(多选题)甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列结论正确的是(　　)

A．甲队获胜的概率为

B．乙队以3∶0获胜的概率为

C．乙队以3∶1获胜的概率为

D．乙队以3∶2获胜的概率为

AB　[对于A，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P1＝＝，故A正确；

对于B，乙队以3∶0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；

对于C，乙队以3∶1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为×＝，故C错误；

对于D，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为××＝，故D错误．]

3．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．

　[由题意知，青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是．青蛙跳三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按A→B→C→A，此时停在A叶上的概率P1＝××＝；第二条，按A→C→B→A，此时停在A叶上的概率P2＝××＝．

所以跳三次之后停在A叶上的概率P＝P1＋P2＝＋＝．]

4．某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，则小明同学一次测试合格的概率为________．

　[设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1,2)，依题意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C．

P()＝P(12)＋P(1A212)＋P(A112)

＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2)

＝＋××＋×＝．

∴P(C)＝1－＝．]

甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．

(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．

[解]　记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i＝3,4,5，

Bj表示事件“第j局乙获胜”，j＝3,4,5．

(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”．

A＝(A3A4)∪(B3B4)．

由于各局比赛结果相互独立，故

P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52．

(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”．

因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648．