人教A版高中数学必修第二册章末综合测评1含答案

这是一份人教A版高中数学必修第二册章末综合测评1含答案，共10页。
章末综合测评(一)
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．1　　　　D．－6
A　[由向量数量积公式知，(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6．]
2．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　)
A．150° B．120° C．60° D．30°
B　[设向量a，b夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，
则cos θ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．故选B．]
3．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
D　[a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，
∴3k－(k＋2)＝0，解得k＝1．∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4．]
4．已知△ABC的其中两边长分别为2,3，这两边的夹角的余弦值为，则△ABC的外接圆的半径为(　　)
A． B． C． D．8
C　[由题意知，边长分别为2,3的两边的夹角的正弦值为＝．又由余弦定理可得第三边的长为＝3，所以由正弦定理知，△ABC的外接圆的直径为＝，所以其半径为．故选C．]
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
B　[由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则sin(B＋C)＝sin A＝．]
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为(　　)
A．18 B．16 C．20 D．15
A　[在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，所以bc×＝3，即bc＝24．由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×＝b2＋c2＋bc，联立得得则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A．]
7．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A． B． C． D．
B　[∵＝，
∴－＝(－)，
∴＝＋，又＝，
∴＝＋＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝．]
8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[－1,3] D．[－1,4]
C　[建立如图所示坐标系，

设M(x，y)，其中A(－1，－1)，B(1，－1)，易知x2＋y2≤1，而·＝(－1－x，－1－y)·(1－x，－1－y)＝x2＋(y＋1)2－1，若设E(0，－1)，则·＝||2－1，
由于0≤||≤2，所以·＝||2－1的取值范围是[－1,3]，故选C．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
ACD　[|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|＞||a|－|b||，故B错误．故选ACD．]
10．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sin A＝2sin C，则以下四个结论正确的有(　　)
A．△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC有可能是等边三角形
C．当A＝B时，△ABC的周长为15
D．当B＝时，△ABC的面积为6
CD　[由正弦定理得a＝2c，
对选项A，若A是直角，则a2＝b2＋c2⇒(2c)2＝36＋c2⇒c＝2，所以存在△ABC是直角三角形，故A错误；
对选项B，因为a＝2c，所以不存在△ABC是等边三角形，故B错误；
对选项C，若A＝B，则a＝b＝6，c＝3，△ABC的周长为15，故C正确；
对选项D，cos B＝＝＝，解得c＝2，a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝6，故D正确．故选CD．]
11．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a－b)·(2b－c)的值可能为(　　)
A．－2 B．3－ C．0 D．－
ACD　[(a－b)·(2b－c)＝2a·b－a·c－2b2＋b·c＝1－2＋(b－a)·c＝|b－a||c|cos〈b－a，c〉－1＝cos〈b－a，c〉－1，
∵cos〈b－a，c〉∈[－1,1]，∴(a－b)·(2b－c)∈[－2,0]．
∵－2∈[－2,0]，3－∉[－2,0]，0∈[－2,0]，－∈[－2,0]，
∴(a－b)·(2b－c)的值可能为－2,0，－．
故选ACD．]
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin B＝bcos A，a＝3．若点D在边BC上，且BD＝2DC，O是△ABC的外心，则下列判断正确的是(　　)
A．A＝30°
B．△ABC的外接圆半径为
C．OD＝1
D．AD的最大值为2
BC　[对于A，在△ABC中，0°＜A，B，C＜180°，∵asin B＝bcos A，∴sin Asin B＝sin Bcos A，又sin B＞0，∴tan A＝，A＝60°，故选项A错误；
对于B，∵a＝3，∴＝2R＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，故R＝，故选项B正确；
对于C，取BC的中点M，连接OM，如图所示，在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝，在Rt△DOM中，DM＝BD－BM＝，OD＝＝＝1，故选项C正确；

对于D，∵AD≤AO＋OD＝R＋OD＝＋1，当且仅当圆心O在AD上时取等号，∴AD的最大值为＋1，故选项D错误．
故选BC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．与向量a＝(1,2)平行，且模等于的向量为________．
(1,2)或(－1，－2)　[因为所求向量与向量a＝(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x)，又因为其模为，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1．
因此所求向量为(1,2)或(－1，－2)．]
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为________km2．
21　[设在△ABC中BC＝13里，AC＝14里，AB＝15里，∴cos C＝＝，∴sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××0.52＝21(km2)．]
15．在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，b＝1，a＝，则c＝________．
1　[∵S△ABC＝absin C，∴absin C＝(a2＋b2－c2)，
∴a2＋b2－c2＝2absin C．
由余弦定理得，2abcos C＝2absin C，
∴tan C＝1，∴C＝45°，
∴c＝＝＝1．]
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．

－　[因为点O是AB的中点，
所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)
＝2－．
所以当x＝时，(＋)·取到最小值－．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知两向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若A＝2a＋3b，B＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解]　(1)ka－b＝(k,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋(4,2)＝(5,2)．
当ka－b与a＋2b共线时，
2(k－2)－(－1)×5＝0，
解得k＝－．
(2)由已知可得＝2a＋3b＝(2,0)＋(6,3)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋(2m，m)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以8m－3(2m＋1)＝0．解得m＝．
18．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．

(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
[解]　(1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，
yB＝||·sin(π－∠OAB)＝，
∴＝＋＝＋(－1，)＝，
∴B，C．
(2)证明：∵＝，
＝，
∴＝3，∴∥．
又易知OA与BC不平行，
||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
19．(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A．
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
[解]　(1)由c＝asin C－ccos A，及正弦定理得
sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0．
由于sin C≠0，
所以sin＝．
又0