人教A版高中数学必修第二册章末综合测评2复数含答案
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章末综合测评(二) 复数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )A．z－1 B．z＋1C．－10＋18i D．10－18iC [1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i．]2．＝( )A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－iD [＝＝＝2－i．故选D．]3．若复数z＝，则z－3的虚部为( )A．－4 B．－4i C．4 D．4iC [因为z＝＝－1＋i，所以＝－1－i，z－3＝2＋4i，即z－3的虚部为4．故选C．]4．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)·(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＞”是“点M在第四象限”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A [z＝(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，所以M(a＋2,1－2a)．点M在第四象限⇔⇔a＞，故“a＞”是“点M在第四象限”的充要条件，故选A．]5．满足＋＝2n的最小自然数为( )A．1 B．2 C．3 D．4C [因为(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，所以＋＝＋＝(2i)n＝2n－1×in[1＋i＋(－1)n(1－i)]，n＝1时，原式＝i(1＋i－1＋i)＝－2，不满足题意；n＝2时，原式＝2i2(1＋i＋1－i)＝－4，不满足题意；n＝3时，原式＝22i3(1＋i－1＋i)＝23，满足题意．故选：C．]6．已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是( )A．z－为纯虚数B．z2n≥0(n∈Z)C．对于任意的z∈C，|z|＝||D．满足＝－z的z仅有一个C [当z＝0时，z－＝0∈R，所以选项A错误；当z＝i，n＝1时，z2n＝i2＝－1＜0，所以选项B错误；由复数的模与共轭复数的定义，知|z|＝||，所以选项C正确；当z＝i或－i时均满足＝－z，故选项D错误．]7．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A [z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，由得此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．]8．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，则x＋y的最大值为( )A．1＋ B．2 C．1 D．B [∵z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，∴x2＋y2＝1．设x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈R，∴x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋)，∴x＋y的最大值是2，故选B．]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( )A．(3,1) B．(－2,0)C．(0,4) D．(－1，－5)ACD [易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i，－2,4i，－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是( )A．z不可能为纯虚数B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数C．若z＝|z|，则z是实数D．|z|可以等于BC [当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为，且z＝，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝得a2＋b2＝，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于，D错误．故选BC．]11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为ACD [复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即＝，整理得，y＝x，即点Z在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式知D正确．故选ACD．]12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是( )A．当m，n∈N*时，有zmzn＝zm＋nB．当z1，z2∈C时，若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z·D．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|AC [由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________．3 [∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3．]14．复数z满足方程 i＝1－i，则z＝________．－1＋i [∵i＝1－i，∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i．]15．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________．(本题第一空2分，第二空3分)2 ±i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，⇒⇒∴|z|＝2．所以＝＝＝±i．]16．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)①|z－|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|．④ [对于①，＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，故不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；对于③，|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正确．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，(1)z是实数？ (2)z是纯虚数？[解] (1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1．即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3．即当m＝3时，z是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2．[解] 因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i．设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，所以解得a＝0，b＝1，所以z2＝i．19．(本小题满分12分)已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i．(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．[解] z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i．(1)|z|＝＝．(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴∴a＝－3，b＝4．20．(本小题满分12分)复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a．[解] 由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．z＝＝＝＝1－i．因为a为纯虚数，所以设a＝mi(m∈R，且m≠0)，则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0，故所以m＝4，即a＝4i．21．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i．(1)求复数z；(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解] (1)∵(1＋2i)＝4＋3i，∴＝＝＝＝2－i，∴z＝2＋i．(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，∴解得－1＜a＜1，即实数a的取值范围为(－1,1)．22．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b．(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，当z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．[解] (1)因为b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，所以(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，故解得a＝b＝3．(2)设z＝m＋ni(m，n∈R)，由|－3－3i|＝2|z|，得(m－3)2＋(n＋3)2＝4(m2＋n2)，即(m＋1)2＋(n－1)2＝8，所以Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，以2为半径的圆．如图，当Z点在直线OO1上时，|z|有最大值或最小值．因为|OO1|＝，半径r＝2，所以当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝．
