2022-2023学年北师大版（2019）必修一 第五章 函数应用 单元测试卷（含答案）

北师大版（2019）必修一 第五章 函数应用 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知函数有唯一零点，则实数a的值为(   )

A.1 B.0 C. D.

2、函数的零点所在的区域为(   )

A. B. C. D.

3、已知函数是定义域为R的偶函数，当时，.若关于x的方程（a，）有且仅有8个不同的实数根，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

4、函数的零点所在区间为(   )

A. B. C. D.

5、函数的零点为(   )

A. B. 2 C. D.

6、已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7、函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8、设，用二分法求方程在近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间(   )

A. B. C. D.不能确定

9、函数零点所在的大致区间是(   )

A. B. C. D.

10、已知函数有两个零点、，则下列关系式正确的是(   )

A. B. C. D.

二、填空题

11、已知定义在R上的函数满足，且当时，，当时，，则函数在上有_________个零点.

12、e是自然对数的底数，的零点为_________.

13、已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.

14、已知函数，若恰有2个零点，则实数a的值为______，若关于x的方程恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为______.

15、已知函数恰有两个零点，则实数k的取值范围为__________.

16、音量大小的单位是分贝，强度为I的声波，其分贝的定义是：，其中是人能听到声音的最低声波强度.设50分贝的声波强度是40分贝声波强度的倍，则的值为________.

三、解答题

17、春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.

（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

18、一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.

（1）求每年开采矿山的百分比.

（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？

（3）今后最多还能开采多少年？

19、某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P（单位：万元）与精加工的蔬菜量x（单位：吨）有如下关系：设该农业合作社将x吨蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y（单位：万元）.

（1）写出y关于x的函数表达式；

（2）求当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润.

20、共享单车是“城市慢行系统”的一种创新模式，对于解决出行“最后一公里”的问题特别有效，由于停取方便、租用价格低廉，共享单车受到人们的喜爱.某自行车厂为共享单车公司生产新样式单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足，其中x（单位：辆）是新样式单车的月产量.

（1）试将利润y（单位：元）表示为月产量x的函数（利润=总收益-总成本）；

（2）当月产量为多少件时，自行车厂的利润最大？最大利润是多少？

参考答案

1、答案：D

解析：由题意得的定义域是，

，

所以，所以的图象关于直线对称.由于有唯一零点，所以的零点只能是，于是，，故选D.

2、答案：C

解析：由题知，函数，，

，

，

，

，

，

故函数的零点所在的区间为.故选C.

3、答案：B

解析：作出函数的大致图象，如图.由图可知，在和上单调递增，在和上单调递减.当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.要使关于x的方程有且仅有8个不同的实数根，设，则关于t的方程有两个不同的实数根，，满足

，，.故选B.

4、答案：C

5、答案：A

解析：令, 得, 则.

6、答案：A

解析：设，图象如图，

问题转化为图象与函数图象没有交点，

由图象可得或.

故选：A.

7、答案：C

解析：由题可知：函数单调递增，若一个零点在区间内，则需：，

即，解得，

故选：C.

8、答案：B

解析：方程的解等价于的零点.由于在R上连续且单调递增，，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B.

9、答案：A

解析：由得

，

，，注意到为增函数

由零点存在定理可知，零点所在区间为，选A.

故选：A.

10、答案：A

解析：因为，为函数的两个零点，即与的交点.由函数图象可知，，又因为零点满足，两式上下相减有，因为在定义域内单调递减，所以，所以，得，即.

故本题正确答案为A.

11、答案：7

解析：由知是奇函数，又当时，，所以在上是周期为1的周期函数.令得，结合当时，，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点.

12、答案：或

解析：由得，

左边：，

右边：可证明，当且仅当时取等，所以.

要想两边相等，只能，所以零点为.

13、答案：

解析：函数恒过点 ，且其图象开口向上，的零点为1，

当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：

函数的零点至多有两个，不符合题意，

故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，

故

解得，

故答案为：

14、答案：1；

解析：当时，则，，

令，解得，

所以当时，，单调递增，时，，单调递减，

再根据题意可作出的图象如下：

若有2个零点，则与有2个交点，数形结合可知；

若关于x的方程恰有4个不同实数根，

令，则有两个不等实数根，，

故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与有3个交点；

当，与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；

当与仅1个交点，与有3个交点，则，，

当时，，解得，故，解得或，舍去；

故两个实数根的范围为，，

所以解得，

所以实数m的取值范围为，

故答案为：1；

15、答案：

解析：解法一：第一步：将函数零点问题转化为两函数图象的交点问题

由题知，方程即恰有两个解，设，则函数的图象与直线有两个交点.

第二步：利用函数与导数的关系画出新构造函数的大致图象

，当时，，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，易知，当时，，当时，，作出函数的图象与直线如图所示.

第三步：利用数形结合思想求实数k的取值范围当直线与函数的图象相切时，设切点坐标为，则，即，易得，当直线与函数的图象相切时，.由图象知，当时，直线与函数的图象恰有两个交点，即函数恰有两个零点，实数k的取值范围为.

解法二：一步：将函数零点问题转化为两函数图象的交点问题

由题知，方程，即恰有两个解，设，则函数的图象与直线有两个交点.

第二步：利用函数与导数的关系画出新构造函数的大致图象

，设，则，在区间，上单调递减，，当时，，即，当时，，即，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，易知当时，，当时，，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线如图所示.

第三步：利用数形结合思想求实数k的取值范围

由图象知，当时，函数的图象与直线恰有两个交点，即恰有两个零点，故实数k的取值范围为.

16、答案：10

解析：由题意可得，，则，，.故答案为：10.

17、答案：（1）当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人

（2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少

解析：（1）当时，设，，则，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2），
①当时，，
仅当时等号成立.

②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.

18、答案：（1）

（2）到今年为止，已开采了6年

（3）今后最多还能开采18年

解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，则，解得.

（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.

（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.

19、答案：（1）

（2）当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元

解析：（1）由题意知，当时，

；

当时，

.

故

（2）当时，，

所以当时，.

当时，，

所以当时，.

因为，所以当时，.

即当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元.

20、答案：（1）

（2）当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元

解析：（1）依题意知总成本为元，则

（2）当，时，，故当时，；

当，时，是减函数，故.

因为，所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元.