高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题（理） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题（理） 学生版(1)，共15页。试卷主要包含了已知函数，，已知实数，设函数，已知且，，已知函数等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若，对，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），所以，当时，，在上单调递增；当时，由，得；由，得；由，得，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若，则．对都有成立，等价于对都有，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，，，函数在上是增函数，，所以，解得，又，所以，所以实数的取值范围是．例2．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．（1）求，，的值；（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．【答案】（1），，；（2）3．【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，，则，解得，，．（2）由（1）得．若在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，从而可得在上恒成立．令，则，令，则恒成立，在上为增函数．又，，所以存在，使得，得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增，则．又，所以，代入上式，得．又，所以．因为，且，所以，故的最大值为3．例3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）由题意，函数，可得，①当时，在上单调递减；②当时，，所以在上单调递减；③当时，令，即，解得或；令，即，解得，所以在，单调递增，在单调递减．（2）当时，函数，由（1）可知在单调递减，不妨设，则，，所以，即，即对任意的成立，所以在单调递减，则，即对恒成立，令，可得，令，即，解得，令，即，解得或，所以在单调递增，在单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数的取值范围．例4．已知实数，设函数．（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围．【答案】（1）极小值，无极大值；（2）．【解析】（1）当时，由，解得．当时，，故在内单调递增；当时，，故在内单调递减，函数在取得极小值，无极大值．（2）由，则有．令，得，．当时，不等式显然成立，当时，两边取对数，即恒成立．令函数，即在内恒成立．由，得．故当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此．令函数，其中，则，得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，故当时，恒成立，因此恒成立，即当时，对任意的，均有成立． 
1．已知函数，且．（1）求的解析式；（2）设，若对任意，，求实数的取值范围．            2．已知函数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．                 3．已知三次函数．（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．                4．已知函数 ，．（1）求函数在上的值域；（2）若，，使得，求实数的取值范围．            5．已知且，．（1）当时，求的单调区间；（2）设，存在，使成立．求实数的取值范围．               6．已知函数．（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．    
1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，则，解得，因此，．（2）①当时，则成立，此时；②当时，由题意得恒成立，令，其中，得，以下只需求．，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以，综上所述，实数的取值范围是．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，∴，，即，∴曲线在点处的切线方程为，即．（2）由，即对有．若对任意，有恒成立，则对任意都有，∴，即．下面证明当时，对任意有．由题意，．①当，即时，易知在上单调递增，∴当时，，即在上单调递增，∴当时，，满足条件；②当，即时，设，易知函数在上单调递增，而，，∴在上有唯一零点，且，∴在上单调递减，在上单调递增，∴．设，则，故在上单调递减，∴，所以，满足条件，综上，实数的取值范围为．3．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，由题意知，解得，，，．（2）由（1）知，令，得，所以在和上分别单调递增，在上单调递减，而，，，，在区间上，，对于区间上任意两个自变量，，都有，．4．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），因为，所以，即函数为减函数，因为，，所以值域为．（2）因为，，使得，所以，因为，所以，所以，即．5．【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，由已知，，，由，得增区间；由，得减区间．（2）由已知：，设在上的最大值为，最小值为，依题意：，，，，为增函数，时，，递增；时，，递减，故，，设，，，在上递增，时，，此时；时，，此时，当时，，设，，在上递增，又，所以由，得；当时，，，由，得，综上：的取值范围是．6．【答案】（1）极小值，极大值为；（2）．【解析】（1）由题意知函数的定义域为，因为，所以，由函数在点处的切线方程为，则，可解得，则，所以，令，解得，，所以当时，；当时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减．所以函数的极小值为，函数极大值为．（2）当时，，不等式可化为，即，令，则，，所以原不等式可化为，因为对任意，当时，不等式恒成立，则可知在上单调递减，因为，所以在上恒成立，则在上恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为．