高中数学高考 2021届好教育云平台高三最新信息卷 理科数学（一） 教师版(1)

这是一份高中数学高考 2021届好教育云平台高三最新信息卷 理科数学（一） 教师版(1)，共10页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
绝密 ★ 启用前2021年好教育云平台高三最新信息卷理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】复数，因为复数()是纯虚数，所以，解得，故选C．2．设集合，，则集合中元素的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】依题意，集合中元素的个数，即与图象交点个数，如图：所以一共有两个交点，所以集合中元素的个数为2，故选C．3．已知，则（    ）A． B． C． D．5【答案】B【解析】令，则，所以，所以，故选B．4．如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积是水面高度的函数，若正数，满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为半径和高都是1，所以水的半径和高都是x，，因为，所以，又，为正数，所以，所以，所以当时，最小值为，故选A．5．对两个变量，进行回归分析，得到组样本数据，，，，则下列说法不正确的是（    ）A．由样本数据得到的回归直线方程必经过样本中心点B．相关指数越大，残差的平方和越小，其模型的拟合效果越好C．若线性回归方程为，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位D．相关系数越接近，变量，相关性越强【答案】D【解析】由定义知回归直线方程必经过样本中心点，故A正确；由相关指数的定义知，越大模型拟合效果越好，由残差的平方和的定义知，残差的平方和越小模型的拟合效果越好，故B正确；C选项是回归直线方程的应用，故C正确；相关系数的范围为，由定义知越接近，变量，相关性越强，故D错误，故选D．6．在平行四边形中，已知，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，，而，，∴，，∴，，两式相减得，∴，∴，故选B．7．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，知为偶函数，，，故排除B、C选项；，，易知在随着x增大过程中出现递减趋势，且趋近于x轴，故A正确，故选A．8．定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意知：的周期为2，关于对称，且，∴为偶函数，即可得、的图象如下：即与交于，，三点，故选C．9．已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（    ）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】由题可知，椭圆的方程为，直线，的方程分别为，．设，，，其中，联立，故．由，得．由点在直线上，得，所以或，故选C．10．记递增数列的前项和为．若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（    ）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】，或其积，或其商仍是该数列中的项，或者或者是该数列中的项，又数列是递增数列，，，，只有是该数列中的项，同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，，或（舍），，根据，，，同理易得，，，，，，，故选D．11．已知函数，，，下列四个结论：①；②；③；④直线是图象的一条对称轴，其中所有正确结论的编号是（    ）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【解析】由题设，知关于轴对称，关于中心对称，∴，，即，，∴，又，，即，当，时，有，此时，则，∴，而，故不是图象的一条对称轴，故选B．12．在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与正方体外接球的交点轨迹长度为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，连接，取的中点，的中点，的中点，连接，其中为正方体的中心，作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形且为的中点，为的中点，可得，又因为，，且平面，所以平面，因为面，所以，又由，，且平面，所以平面，因为面和面是同一面，所以平面，在直角中，，，可得，所以，又因为，在中，可得，由平面截球的轨迹为圆，其中是截面圆的圆心，为球心，因为正方体的棱长为，所以外接球的半径，根据截面圆的性质，可得，所以截面的周长为，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．总体由编号为00，01，，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从下列随机数表第1行的第9列开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为_________．【答案】58【解析】由题意，从随机数表第1行的第9列数字0开始，从左到右依次选取两个数字的结果为00，18，00(舍去)，18(舍去)，38，58，故选出来的第4个个体编号为58，故答案为58．14．若，则_________．【答案】【解析】由，则，故答案为．15．已知满足约束条件，若的最大值是16，则的值为_________．【答案】2【解析】画出满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得；由，解得，当直线过时，，由，得，当直线过时，最大，此时，解得，故答案为2．16．在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为__________．【答案】【解析】∴由正弦定理，，即，，而，∴，∵，即，，∴，即，又由余弦定理知，∴，即，令，∴，即（舍去），∴．故答案为． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列满足：，．（1）求的通项公式；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，，即．（2），∴．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在中，因为，，，所以，因为点是的中点，所以，在中，，得，所以，所以，在中，，，，满足，所以，而，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）以AM的中点O为原点，以OB为x轴，平行于MC的直线为y轴，OP为z轴，如图建立坐标系，则，，，，所以，，，，设平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，即，令，可得；则，即，令，可得，，所以二面角的余弦值为．19．（12分）拉拉裤又叫成长裤，是等宝宝调皮了自己会解纸尿裤了或者换尿裤的时候总动来动去使用的，拉拉裤不但有防尿功能，且具有普通短裤的功能，拉拉裤易于穿着、方便活动，能减轻妈妈的劳累，让宝宝轻轻松松学步，渗透性能是体现其功能的重要指标，对渗透性能的考量又分滑渗量、回渗量、渗漏量三个方面，其中，回渗量是一个直接与孩子健康挂钩的指标，国家在这方面有严格规定，要求不得超过10克．某品牌拉拉裤的生产商为了测量某批新产品的回渗量，从该批产品中随机抽取了1000片，得到如下频率分布直方图：注：以频率作为概率，该品牌拉拉裤的生产商规定回渗量小于220毫克为合格品．（1）从这批拉拉裤中随机抽取4片，记合格片数为，求的分布列与期望；（2）从这批拉拉裤中随机抽取片，全是合格品的概率不低于60%，求的最大值；（3）为提高新产品的质量，该厂商研发部拟订了Ⅰ，Ⅱ两种技术更新方案，试验结果如下：方案Ⅰ，随机抽取100片，合格片数的期望是96；方案Ⅱ，随机抽取120片，合格片数的期望是115．试问该厂商应按哪个改进方案投入生产？【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）最大值为4；（3）应选择方案Ⅰ．【解析】（1）由频率分布直方图可知，所抽取拉拉裤是不合格品的频率为，所以所抽取拉拉裤是合格品的频率为，即所抽取拉拉裤是合格品的概率为．从这批产品中随机抽取4片，合格品的个数的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，，，，，所以的分布列为01234所以数学期望．（2）从这这批拉拉裤中随机抽取片，全是合格品的概率为，因为，，依题意得，则的最大值为4．（3）按方案Ⅰ，设随机抽取一个产品合格的概率是，随机抽取100片，合格品个数；按方案Ⅱ，设随机抽取一个产品合格的概率是，随机抽取120片，合格品个数，依题意，，解得，．因为，所以应选择方案Ⅰ．20．（12分）已知抛物线经过点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴．垂足为，求证：以为直径的圆恒过定点．【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）证明见解析．【解析】（1）由抛物线经过点，得，即，所以抛物线的方程为，其准线方程为．（2）证明：由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为．将代入，消去，得，显然，设，，则，．∵，∴是线段的中点，设，则，，∴，又轴，所以垂足的坐标为．设以为直径的圆恒经过点，则，，由，得，即，①因为对任意的实数，①式要恒成立，所以，解得，所以以为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为．21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）定义域是，由题意，当时，，在上是增函数；当时，时，；时，，在上递减，在上递增．（2）令，则，时，；时，，即时，递减；时，递增，所以，所以，（时，等号成立），所以，时，不等式为，即，令，，则，令，则，设，则．所以在上是减函数，，，所以在上存在唯一零点，，时，；时，，所以在上递增，在上递减．，由，得，易知，，所以在上一个零点，在上有一个零点，且，或时，，在和上递减；时，，在上递增，显然当时，，因此时，，在上，是的最大值，，又，，因为，则，所以，综上，时，成立，所以成立． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，．（1）求半圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴交于点，与轴交于点，点在半圆上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，的面积为，求的值．【答案】（1）（为参数，），；（2）．【解析】（1）半圆的参数方程为（其中为参数，），直线的直角坐标方程为．（2）由题意可知，可设，其中，所以点到直线的距离为，又，，，三角形的面积，，又，．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知．（1）解不等式；（2）若、、均为正数，且，证明：．【答案】（1）；（2）证明解析．【解析】（1）由题意可知，当时，，，即，解得；当，，，即，解得；当，，，即，无解，综上所述，，（2）因为、、均为正数，所以，，，因为，所以，化简得，因为，当且仅当时取“”号，所以成立．