高中数学高考1 第1讲　绝对值不等式 新题培优练

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[基础题组练]1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1解得1≤x≤2；当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－(|x|－)2＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围为.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当(x＋a)(x－2)≤0时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)＝x有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|＝所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不合题意；当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．综上可得f(x)≥0的解集为.(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1<a<0.所以实数a的取值范围为(－1，0)．4．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R)．(1)若f(1)<11，求a的取值范围；(2)若∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范围．解：(1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝当a≤1时，3－2a<11，解得a>－4，所以－4＜a≤1；当1<a<2时，1<11恒成立；当a≥2时，2a－3＜11，解得a<7，所以2≤a<7.综上，a的取值范围是(－4，7)．(2)因为∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，又f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|，所以|x|≥x2－x－3，所以或解得0≤x≤3或－≤x＜0，所以x的取值范围为[－，3]．[综合题组练]1．设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋g(x)<2；(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.解：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|<2.①当x<2时，原不等式可化为3－x＋2－x<2，可得x>.所以<x<2.②当2≤x≤3时，原不等式可化为3－x＋x－2<2，可得1<2.所以2≤x≤3.③当x>3时，原不等式可化为x－3＋x－2<2，可得x<.所以3<x<.由①②③可知，不等式的解集为{x|<x<}．(2)证明：|x－2y＋1|＝|(x－3)－2(y－2)|≤|x－3|＋2|y－2|≤1＋2＝3.当且仅当或时等号成立．2．已知f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0<a<5)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y＝f(x)的最小值为4，求实数a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－5|＝所以f(x)≥9⇔或或解得x≤－1或x≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)因为0<a<5，所以>1，则f(x)＝注意到当x<时，f(x)单调递减，当x>时，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值在上取得，因为在上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减，所以或解得a＝2.3．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.(1)当k＝1时，若不等式f(x)<4的解集为{x|x1<x<x2}，求x1＋x2的值；(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值．解：(1)由题意，得|x－2|＋|x＋1|<4.当x>2时，原不等式可化为2x<5，所以2<x<；当x<－1时，原不等式可化为－2x<3，所以－<x<－1；当－1≤x≤2时，原不等式可化为3<4，所以－1≤x≤2.综上，原不等式的解集为，即x1＝－，x2＝.所以x1＋x2＝1.(2)由题意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k.当x＝2时，即不等式3k≥k成立，所以k≥0.当x≤－2或x≥0时，因为|x＋1|≥1，所以不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立．当－2＜x≤－1时，原不等式可化为2－x－kx－k≥k，可得k≤＝－1＋，所以k≤3.当－1<x<0时，原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－，所以k＜3.综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.4．(2019·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a<时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝|x－a|＋，所以f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，所以f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，所以|m|≤1，即－1≤m≤1，所以实数m的最大值为1.(2)当a<时，g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋＝所以g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，所以或所以－≤a<0，所以实数a的取值范围是.