高中数学高考1 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程　新题培优练

[基础题组练]

1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A.x－y＋1＝0　　　　　 B.x－y－＝0

C.x＋y－＝0   D.x＋y＋＝0

解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.

2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)

A．ab>0，bc<0   B．ab>0，bc>0

C．ab<0，bc>0   D．ab<0，bc<0

解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.

3．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　)

解析：选B.直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．

4．(2019·广东惠州质检)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A．－1＜k＜   B．－1<k<

C．k＞或k＜－1   D．k＜－1或k>

解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.

令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.

5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2，2] 

B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2，0)∪(0，2] 

D．(－∞，＋∞)

解析：选C.令x＝0，得y＝，

令y＝0，得x＝－b，

所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．

6．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．

解析：设所求直线的斜率为k，依题意

k＝－×3＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

答案：3x＋4y＋15＝0

7．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．

解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.

当y＝0时，x＝.

所以＝a＋2，

解得a＝－2或a＝1.

答案：－2或1

8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．

解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，

当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．

所以b的取值范围是[－2，2]．

答案：[－2，2]

9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3，4)；

(2)斜率为.

解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·b|＝6，

所以b＝±1.

所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，

kOB＝tan(180°－30°)＝－，

所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.

设A(m，m)，B(－n，n)，

所以AB的中点C，

由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，所以A(，)．

又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，

所以lAB：y＝(x－1)，

即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

[综合题组练]

1．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A．3x－y－6＝0   B．3x＋y＋6＝0

C．3x－y＋6＝0   D．3x＋y－6＝0

解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.

2．(创新型)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为(　　)

A.　　　　　　　　　   B.

C．1   D．9

解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.

3．直线l过点(－2，2)且与x轴、y轴分别交于点(a，0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为____________．

解析：若a＝b＝0，则直线l过(0，0)与(－2，2)两点，直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，

即x＋y＝0.

若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，

由题意知解得

此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.

答案：x＋y＝0或x－y＋4＝0

4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．

解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.

联立得x2＋x＋6＝0.

要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.

所以实数m的取值范围是∪.

答案：∪

5．(应用型)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．

解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，

由两点式得BC的方程为＝，

即x＋2y－4＝0.

(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，

则x＝＝0，y＝＝2.

BC边的中线AD经过A(－3，0)，D(0，2)两点，

由截距式得AD所在直线的方程为＋＝1，

即2x－3y＋6＝0.

(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，

则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

由(2)知，点D的坐标为(0，2)．

由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，

即2x－y＋2＝0.

6．(应用型)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点：

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．

解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令

解得

所以无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．

(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，

则有

解得k>0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．

综上，k的取值范围是k≥0.

(3)依题意得A，B(0，1＋2k)，

且

解得k>0.

所以S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|

＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是4k＝，此时k＝，

所以Smin＝4，

此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.