高中数学高考1 第1课时　椭圆及其性质

这是一份高中数学高考1 第1课时　椭圆及其性质，共19页。试卷主要包含了椭圆的定义，若椭圆C，已知两圆C1，已知椭圆M等内容，欢迎下载使用。
第5讲　椭　圆
最新考纲
考向预测
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
命题趋势
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.
核心素养
直观想象、逻辑推理、数学运算


1．椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为椭圆
F1，F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋1.
常用结论
椭圆的常用性质
(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
①b≤|OP|≤a；
②a－c≤|PF|≤a＋c.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
(3)与椭圆＋＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ>－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
(5)若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－.
常见误区
1．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2ab>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
3．(多选)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m的值可能为(　　)
A．2 B. C．6 D．8
解析：选AD.若焦点在x轴上，则a2＝，b2＝，由e＝＝，得＝，即＝，所以＝，即＝，解得m＝2；若焦点在y轴上，则a2＝，b2＝，则＝，解得m＝8，所以m＝2或m＝8.故选AD.
4．(易错题)平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．
答案：线段F1F2
5．(易错题)若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得解得30)．由题意得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】　(1)ACD　(2)C

(1)用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

[提醒]　当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．　

1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋x2＝1 D.＋＝1
解析：选D.由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.故选D.
2．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2，0)，离心率为，则此椭圆的方程为________．
解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2－n2＝4，e＝＝，所以m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________．
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由
解得m＝，n＝.
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1

椭圆的几何性质
角度一　求椭圆离心率的值(范围)
(1)(2020·四川资阳二诊)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2020·东北三校第一次联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)依题意可知，a＝b，即b＝a.又c＝＝＝a，所以该椭圆的离心率e＝＝.故选B.
(2)取AP的中点Q，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0.所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.因为点P在直线x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤.又0b>0)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示，F(－c，0)，A(0，b)，B(a，0)．因为△ABF是直角三角形，所以AF⊥AB，所以·＝0，又因为＝(－c，－b)，＝(a，－b)，所以－ac＋b2＝0，又因为b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＝0，又因为e＝，所以e2＋e－1＝0，所以e＝，又因为0b>0)的左顶点为A，O为坐标原点，B，C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为________．
解析：由题意，知A(－a，0)．因为四边形OABC为平行四边形，所以OA∥BC，且|OA|＝|BC|＝a，又∠OAB＝45°，所以C，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以e＝＝＝.
答案：
9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
10．如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．

解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3，所以b2＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
[B级　综合练]
11．(综合型)设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.

12．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)
A．P点的纵坐标为3
B．∠F1PF2>
C．△F1PF2的周长为4(＋1)
D．△F1PF2的内切圆半径为(－1)
解析：选CD.由已知条件得a＝2，b＝2，c＝2.不妨设P(m，n)，m>0，n>0，则S△F1PF2＝×2c×n＝3，解得n＝，所以A错误．由n＝，得＋＝1，解得m＝(负值已舍去)，所以P.所以|PF1|2＝＋＝＋2，|PF2|2＝＋＝－2，所以|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝×2－16＝>0，所以cos∠F1PF2＝>0，所以∠F1PF2b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，
故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.所以C1的四个顶点坐标分别为(2c，0)，(－2c，0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线为x＝－c.
由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2.
所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝8x.
14．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4.
由②③得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，
从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
[C级　创新练]
15．椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＋＝1(a＞0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆方程为(　　)
A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4
解析：选B.因为椭圆的离心率为，所以＝，解得a＝3.因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，所以找两个特殊点，分别为(，0)，(0，)，所以对应的两条切线分别是x＝，y＝，这两条直线的交点为(，)，因为两条切线的交点在蒙日圆上，所以()2＋()2＝r2＝7，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.故选B.
16．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　)

A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
解析：选ABD.由题意可知a－c－R＝m，a＋c－R＝n，可得a－c＝m＋R，所以A正确；a＋c＝R＋n，所以B正确；可得a＝＋R，c＝.2a＝m＋n＋2R，所以C错误；则b2＝a2－c2＝－
＝(m＋R)(n＋R)．则b＝.
所以D正确．故选ABD.