高中数学高考02卷 第七章　立体几何与空间向量《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）(原卷版)

02卷  第七章　立体几何与空间向量《真题模拟卷》

－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）

第I卷（选择题）

一、单选题

1．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

2．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（    ）

A． B． C． D．

3．已知点，，，又点在平面内，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．若、、三点共线，则（    ）．

A．

B．

C．

D．

5．已知，，则（    ）．

A．

B．

C．

D．

6．点在空间直角坐标系中的位置是（    ）．

A．在轴上

B．在平面内

C．在平面内

D．在平面内

7．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

8．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．给出下列命题，其中为假命题的是（    ）

A．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则

B．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为

C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面

D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得

10．在平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ）

A．线段的长度为

B．异面直线夹角的余弦值为

C．对角面的面积为

D．平行六面体的体积为

11．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且､和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）的模 (表示向量､的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（    ）

A．与方向相反

B．

C．与正方体表面积的数值相等

D．与正方体体积的数值相等

12．给出下列命题，其中不正确的为（    ）

A．若，则必有与重合，与重合，与为同一线段

B．若，则是钝角

C．若，则与一定共线

D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面

13．下列命题中不正确的是（    ）.

A．若､､､是空间任意四点，则有

B．若，则､的长度相等而方向相同或相反

C．是､共线的充分条件

D．对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面

14．在正方体中，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）

A．平面平面 B．平面

C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变

15．如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿､及把这个正方形折成一个四面体，使得､､三点重合于，得到四面体(如图2).下列结论正确的是（    ）

A．四面体的外接球体积为

B．顶点在面上的射影为的重心

C．与面所成角的正切值为

D．过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是

16．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．的最小值为

C．平面

D．异面直线与，所成角的取值范围是

17．已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（    ）

A．不论何时，与都不可能垂直

B．存在某个位置，使得平面

C．直线与平面所成角存在最大值

D．四面体的外接球的表面积的最小值为

18．如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．存在线段，使平面平面

C．为中点时，直线与所成角最小

D．三棱锥的外接球半径的最大值为

第II卷（非选择题）

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三、解答题

19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．

（1）证明：平面；

（2）若，与平面所成角为，求二面角的大小．

20．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为直角梯形，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．

21．在三棱台中，，，，，且平面.设P､Q､R分别为棱AC､FC､BC的中点.

（1）证明：平面平面PQR；

（2）求二面角的正弦值.

22．如图，在多面体中，平面平面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点．

（1）求二面角的余弦值；

（2）作平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，直接写出的值．

23．请从下面两个条件中只任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①；②与平面所成的角为.

如图，在三棱柱中，是边长为的正三角形，，平面平面，是线段的中点，__________.

（1）求与所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值.

24．如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，，点是棱上一点．

（1）求证：；

（2）当是的中点时，求二面角的余弦值．

25．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，．

（1）求证：；

（2）点，分别在棱，，，，求平面与平面所成角的正弦值．

26．设空间两个不同的单位向量，与向量的夹角都等于．

（1）求和的值；

（2）求的大小．

27．已知，．

（1）求；

（2）求与夹角的余弦值；

（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．

28．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为底面直径.已知.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

29．如图，正方形所在平面与等边所在平面互相垂直，设平面与平面相交于直线.

（1）求与所成角的大小；

（2）求二面角的余弦值.

30．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，平面平面，是的中点，且.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

31．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值.

32．如图，正三棱锥中，与底面所成角正切值为．

（1）证明：面；

（2）设为的中心，延长到点使得，求二面角的平面角的大小．

33．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，对角线AC与BD交于O点，连接PO.

（1）求证：AC⊥PB；

（2）过B点作一直线l平行于PC，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为，求的取值范围.

34．如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，为等边三角形，且，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

35．已知正方体中，分别为棱的中点.

（1）求证；四点共面；

（2）求二面角的余弦值.

四、填空题

36．在正四棱锥中，，，分别是，的中点，设异面直线与所成角的大小为，则__________．

37．正方体中，与平面所成角的正弦值为___________.

38．已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_________.

39．已知，，，若点满足，则点的坐标为________．

40．在空间直角坐标系中，、，若，则的值为________．

41．已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．

42．在空间直角坐标系中，已知向量与向量共线且满足方程，则向量的坐标为________．

43．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则点的坐标为________．

44．点在平面内的射影为，则________．

五、双空题

45．边长为2的正方体内（包含表面和棱上）有一点，、分别为、中点，且（，）．

（1）若（），则______．

（2）若（），则三棱锥体积为______．

46．已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.

47．如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.

48．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示______，过点且法向量为的平面的方程是______．

49．已知正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为_______，二面角的余弦值为________．

50．在空间四边形ABCD中，若，点E、F分别是线段BC、AD的中点，则_______，的坐标为___________．

51．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则二面角C﹣AM﹣N的余弦值为__．若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是__．