还剩7页未读，
继续阅读
高中数学高考2 3 函数的奇偶性与周期性
展开
这是一份高中数学高考2 3 函数的奇偶性与周期性，共10页。试卷主要包含了奇、偶函数的概念，奇、偶函数的图象特征，具有奇偶性函数的定义域的特点，周期函数的概念，函数奇偶性与单调性之间的关系，奇、偶函数的“运算”，函数的对称性，函数的对称性与周期性的关系等内容，欢迎下载使用。
2．3 函数的奇偶性与周期性
1．奇、偶函数的概念
(1)偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于________________对称；奇函数的图象关于对称________________．
3．具有奇偶性函数的定义域的特点
具有奇偶性函数的定义域关于________________，即“定义域关于________________”是“一个函数具有奇偶性”的________________条件．
4．周期函数的概念
(1)周期、周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个________________T，使得当x取定义域内的________________值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为________________；
(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为．
6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇±奇＝________________，偶±偶＝________________，奇×奇＝________________，偶×偶＝________________，奇×偶＝________________.
7．函数的对称性
如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴x＝；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝ －f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心.
8．函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a
自查自纠：
1．(1)f(－x)＝f(x) (2)f(－x)＝－f(x)
2．y轴 原点
3．原点对称 原点对称 必要不充分
4．(1)非零常数 每一个 f(x＋T)＝f(x) (2)最小
5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数
6．奇 偶 偶 偶 奇
下列函数中，在其定义域内是偶函数又在 (－∞，0)上单调递增的是 ( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|
C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sinx
解：f(x)＝x2和f(x)＝2|x|是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f(x)＝sinx为奇函数，f(x)＝log2是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增．故选C.
()已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝ ( )
A．－20 B．20 C．－12 D．12
解：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D.
()已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为 ( )
A．a
解：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝ f＝cos＝.故填.
()已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
解：因为f(x)是奇函数，所以f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，所以－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝ －[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋ f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝ 2＋0＝2.故填2.
类型一 函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1)；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋；
(5)f(x)＝ln；
(6)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．
解：(1)定义域要求≥0，所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)不具有奇偶性．
(2)解法一(定义法)：当x＞0时，f(x)＝－x2＋ 2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－ 2x－1＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
解法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
(3)由 得－2≤x≤2且x≠0.
所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
所以f(x)＝＝.
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．
(4)由 得x＝±3.
所以f(x)的定义域为{－3，3}，关于原点对称．
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
所以f(x)＝±f(－x)．
所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(5)由>0，得－1
又因为f(－x)＋f(x)
＝loga[－x＋]＋loga(x＋)
＝loga(－x)＋loga(＋x)
＝loga[(－x)(＋x)]
＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
点 拨：
①判断函数奇偶性的步骤是：第一步，求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；第二步，验证 f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．②对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．③对于含有x的对数式或指数式的函数常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．
(1)()在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsinx中，偶函数的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解：y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsinx为偶函数．故选B.
(2)已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)一定为 ( )
A．偶函数 B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解：显然f(x)的定义域是R，关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，得 f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．故选B.
(3)()已知f(x)＝ax－ log2(4x＋1)是偶函数，则a＝ ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
解法一：由已知可得f(－x)＝f(x)，所以－ax－log2(4－x＋1)＝ax－log2(4x＋1)，
所以log2＝2ax，所以log2＝2ax，所以2x＝2ax，所以a＝1.
解法二：因为f(x)＝ax－log2(4x＋1)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，即a－log2(41＋1)＝－a－ log2(4－1＋1)，解得a＝1.故选A.
(4)()若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
解：因为f(－x)＝＝，所以
f(－x)＋f(x)＝
＝.
由f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立可得 k2＝1，所以k＝±1.故填±1.
(5)已知函数f(x)＝ 判断函数的奇偶性．
解：当x＜0时，f(x)＝x2＋x，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，f(x)＝－x2＋x，－x＜0，
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．
另解：作图．
类型二 利用函数性质求解析式
已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
解：(1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝.用x＋2代替x得f(x＋4)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期．
(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.
(3)当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.
当x∈(6，8]时，x－6∈(0，2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6.
又f(x)·f(x＋2)＝13，
所以f(x)＝＝.
所以解析式为f(x)＝
点 拨：
本题存在规律性：若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则2a为f(x)的周期(a＞0)；同理，f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，均可推得2a为f(x)的周期(a＞0)．
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(0
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有 f(0)＝0.
x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－.
故x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－.
从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.
类型三 奇偶性与单调性的综合问题
(1)()函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤ f(x－2)≤1的x的取值范围是 ( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
解：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，因为f(x)单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故x的取值范围为[1，3]．故选D.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－2，1)
解：因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
解：当x>0时，f(x)＝log(1＋x2)＋，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)≤f(2x－1)等价于|x|≥|2x－1|，两边平方化简为3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，即x的取值范围是.故选C.
点 拨：
单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质．单调性与奇偶性之间有着密切的联系：①奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且f(－x)＝－f(x)；②偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．综合利用函数的单调性和奇偶性，可以解决很多函数问题，特别是抽象函数问题．
(1)已知f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解：因为f(x)＝lg是奇函数，所以 f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝0，解得 a＝－1，即f(x)＝lg ，由f(x)＝lg<0，得0<<1，解得－1
A．有最小值f(a) B．有最大值f
C．有最小值f(b) D．有最大值f(b)
解：令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，再令x＝ y＝0得f(0)＝0，代入得f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称．因为当x<0时，f(x)>0，∀y∈R，x＋yf(y)，即f(x)在R上是减函数，可得f(x)在[a，b]上有最小值f(b)，最大值f(a)．
另解：依条件取f(x)＝－x.故选C.
(3)()定义在R上的函数y＝f(x)在(－∞，a)上是增函数，且函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有 ( )
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)≥f(x2)
C．f(x1)a且|x1－a|<|x2－a|，说明x1与对称轴的距离比x2与对称轴的距离小，故f(x1)>f(x2)．故选A.
类型四 函数周期性与奇偶性的应用
(1)()已知f(x＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝ －2x(x＋1)，则f的值为________．
解：f(x＋1)是周期为2的函数，则f(x)也是周期为2的函数，所以f＝f.
由f(x＋1)是奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
即f(x)＝－f(2－x)，
故f＝f＝－f＝－f＝－.
故填－.
点 拨：
利用奇偶性和周期性，将待求的函数值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)()已知函数f(x)满足 f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，当x∈(0，2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是 ( )
A．f(4.5)
点 拨：
易知函数f(x)在(0，2)上是增函数，根据图象的对称性及周期性，将待比较的函数值的自变量全部转化到(0，2)上，再比较大小．解这类问题建议数形结合，直观明了．
(1)()已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时， f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则 f(6)＝ ( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
解：当x>时，由f＝f，可得 f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)， f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2.故选D.
(2)()已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x均有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，则 f(2 018)＝________.
解：由函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝2对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝ －f(x＋4)＋2＝f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2 018)＝f(2＋252×8)＝f(2)，再令x＝－2，则f(2)＝－f(－2)＋2，又因为f(－2)＝f(2)，所以 f(2)＝.故填.
1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性．
2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)进行判断．
3．判断函数奇偶性的方法通常有
(1)定义法：根据定义判断．
(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．
(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．
4．判断周期函数的一般方法
(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．
(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝.
5．函数奇偶性和周期性的应用
已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．
6．解题中要注意以下性质的灵活运用
(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上．
1．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 ( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解：根据奇偶函数的定义可知，选项A，C中的函数是偶函数，选项B中的函数是奇函数．故选D.
2．()已知函数f(x)＝3x－x，则f(x) ( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
解：f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，函数是增函数．故选B.
3．已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是 ( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解：由f(x)的图象易判断f(x)不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.
4．已知f(x)是R上的奇函数，对x∈R都有 f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若f(－1)＝－2，则 f(2 019)＝ ( )
A．－2 B．－1 C．2 D．2 019
解：由f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，取x＝－2，得 f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0，所以f(2)＝ －f(－2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 019)＝f(4× 505－1)＝f(－1)＝－2.故选A.
5．()已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 020)，则a，b，c的大小关系正确的是 ( )
A．a0，则函数f(x)在区间[4，8]上为增函数；②若f(x＋4)＝－f(x)，则 f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8； ③若y＝f(x＋4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝4对称．a＝f(6)，b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝ f(2 020)＝f(252×8＋4)＝f(4)，又由函数f(x)在区间[4，8]上为增函数，则有c
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，2)
D．(－2，1)
解：设x>0，则－x<0，所以g(x)＝－g(－x)＝ ln(1＋x)，所以f(x)＝ 易知函数f(x)是R上的单调递增函数，所以由f(2－x2)>f(x)，得2－x2>x，解得－2
解：由于f(－x)＝f(x)，所以ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋ 3＝0，所以a＝－.故填－.
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
解：由题意，f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()可得 2|a－1|<，即|a－1|<，所以
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：(1)因为在x∈(－1，1)上f(x)为奇函数，
所以f(0)＝0，即b＝0.所以f(x)＝.
又因为f＝，所以＝.解得a＝1.
所以f(x)＝，经检验适合题意．
(2)证明：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，x1x2＜1，则x1x2－1＜0，x2－x1＞0，故f(x1)－f(x2)＜0.所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)由f(t－1)＋f(t)＜0，
得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．
所以 得0＜t＜.
故t的取值范围为.
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时， f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝ f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝ f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝ f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
()已知函数f(x)＝x3－2x＋ ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解：因为f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，所以数f(x)在R上单调递增，又f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围为.故填.
1．()下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是 ( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
解：函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A为奇函数，不符合；选项B是偶函数，但其单调性不符合；选项D是非奇非偶函数．只有选项C符合要求．故选C.
2．下列函数不是周期函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝|sinx|
C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)
解：y＝sinx与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，y＝|sinx|的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，其图由 y＝sinx去掉y轴左侧图象，再将y轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数．故选C.
3．已知函数f(x)＝ 那么该函数是 ( )
A．奇函数，且在定义域上单调递减
B．奇函数，且在定义域上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
解：当x>0时，f(－x)＝－2x＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝2－x＝－f(x)．所以对定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．根据指数函数的性质知，f(x)在(－∞，0)上单调递增且值域为(－∞， －1)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且值域为(1，＋∞)，故函数f(x)在定义域上单调递增．故选B.
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 017)＋f(2 019)的值为( )
A．0 B．－4 C．－2 D．2
解：当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2 017)＋f(2 019)＝0.故选A.
5．()定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，且f(2)＝0，则不等式<0的解集是 ( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
解：因为<0，则f(x)在(－∞，0]单调递减，由题可知，当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－2，2)时，f(x)<0，则＝<0，即x与f(x)异号，解得(－∞，－2)∪(0，2)．故选B.
6．设定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝.若 a＝f，b＝f，c＝f，则 ( )
A．b
因为对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈(0，1]时， f′(x)＝≥0，即函数f(x)在(0，1]上单调递增．又a＝f＝f＝f，b＝f＝f＝f，c＝f＝f＝f，且<＜，所以b
解：因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，所以当x<0时，－x>0，f(－x)＝＋1＝－f(x)，即当x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.故填 －－1.
8．()已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且 f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解：f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.故填[－3，1]．
9．已知定义在R的函数f(x)＝ex－e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若关于x的不等式f(m－2)＋f(cos2x＋4sinx)<0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∀x∈R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．
(2)由题意知f(x)＝ex－e－x是R上的增函数，
f(m－2)<－f(cos2x＋4sinx)＝f(－cos2x－4sinx)，
则m<2－cos2x－4sinx＝sin2x－4sinx＋1＝ (sinx－2)2－3，
因为sinx∈[－1，1]，则当sinx＝1时，g(x)＝ sin2x－4sinx＋1取最小值－2，所以m<－2.
即实数m的取值范围是(－∞，－2)．
10．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.
所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．
定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为
( )
A．0 B．1 C．3 D．5
解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为T是函数f(x)的一个正周期，所以f(T)＝ f(－T)＝f(0)＝0，又f＝f＝f，且 f＝－f，所以f＝0，于是可得f＝f＝0，所以方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数可能为5.故选D.
2．3 函数的奇偶性与周期性
1．奇、偶函数的概念
(1)偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于________________对称；奇函数的图象关于对称________________．
3．具有奇偶性函数的定义域的特点
具有奇偶性函数的定义域关于________________，即“定义域关于________________”是“一个函数具有奇偶性”的________________条件．
4．周期函数的概念
(1)周期、周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个________________T，使得当x取定义域内的________________值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为________________；
(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为．
6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇±奇＝________________，偶±偶＝________________，奇×奇＝________________，偶×偶＝________________，奇×偶＝________________.
7．函数的对称性
如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴x＝；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝ －f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心.
8．函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a
自查自纠：
1．(1)f(－x)＝f(x) (2)f(－x)＝－f(x)
2．y轴 原点
3．原点对称 原点对称 必要不充分
4．(1)非零常数 每一个 f(x＋T)＝f(x) (2)最小
5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数
6．奇 偶 偶 偶 奇
下列函数中，在其定义域内是偶函数又在 (－∞，0)上单调递增的是 ( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|
C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sinx
解：f(x)＝x2和f(x)＝2|x|是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f(x)＝sinx为奇函数，f(x)＝log2是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增．故选C.
()已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝ ( )
A．－20 B．20 C．－12 D．12
解：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D.
()已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为 ( )
A．a
解：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝ f＝cos＝.故填.
()已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
解：因为f(x)是奇函数，所以f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，所以－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝ －[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋ f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝ 2＋0＝2.故填2.
类型一 函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1)；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋；
(5)f(x)＝ln；
(6)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．
解：(1)定义域要求≥0，所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)不具有奇偶性．
(2)解法一(定义法)：当x＞0时，f(x)＝－x2＋ 2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－ 2x－1＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
解法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
(3)由 得－2≤x≤2且x≠0.
所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
所以f(x)＝＝.
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．
(4)由 得x＝±3.
所以f(x)的定义域为{－3，3}，关于原点对称．
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
所以f(x)＝±f(－x)．
所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(5)由>0，得－1
又因为f(－x)＋f(x)
＝loga[－x＋]＋loga(x＋)
＝loga(－x)＋loga(＋x)
＝loga[(－x)(＋x)]
＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
点 拨：
①判断函数奇偶性的步骤是：第一步，求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；第二步，验证 f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．②对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．③对于含有x的对数式或指数式的函数常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．
(1)()在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsinx中，偶函数的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解：y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsinx为偶函数．故选B.
(2)已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)一定为 ( )
A．偶函数 B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解：显然f(x)的定义域是R，关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，得 f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．故选B.
(3)()已知f(x)＝ax－ log2(4x＋1)是偶函数，则a＝ ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
解法一：由已知可得f(－x)＝f(x)，所以－ax－log2(4－x＋1)＝ax－log2(4x＋1)，
所以log2＝2ax，所以log2＝2ax，所以2x＝2ax，所以a＝1.
解法二：因为f(x)＝ax－log2(4x＋1)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，即a－log2(41＋1)＝－a－ log2(4－1＋1)，解得a＝1.故选A.
(4)()若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
解：因为f(－x)＝＝，所以
f(－x)＋f(x)＝
＝.
由f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立可得 k2＝1，所以k＝±1.故填±1.
(5)已知函数f(x)＝ 判断函数的奇偶性．
解：当x＜0时，f(x)＝x2＋x，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，f(x)＝－x2＋x，－x＜0，
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．
另解：作图．
类型二 利用函数性质求解析式
已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
解：(1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝.用x＋2代替x得f(x＋4)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期．
(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.
(3)当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.
当x∈(6，8]时，x－6∈(0，2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6.
又f(x)·f(x＋2)＝13，
所以f(x)＝＝.
所以解析式为f(x)＝
点 拨：
本题存在规律性：若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则2a为f(x)的周期(a＞0)；同理，f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，均可推得2a为f(x)的周期(a＞0)．
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(0
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有 f(0)＝0.
x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－.
故x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－.
从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.
类型三 奇偶性与单调性的综合问题
(1)()函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤ f(x－2)≤1的x的取值范围是 ( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
解：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，因为f(x)单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故x的取值范围为[1，3]．故选D.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－2，1)
解：因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
解：当x>0时，f(x)＝log(1＋x2)＋，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)≤f(2x－1)等价于|x|≥|2x－1|，两边平方化简为3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，即x的取值范围是.故选C.
点 拨：
单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质．单调性与奇偶性之间有着密切的联系：①奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且f(－x)＝－f(x)；②偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．综合利用函数的单调性和奇偶性，可以解决很多函数问题，特别是抽象函数问题．
(1)已知f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解：因为f(x)＝lg是奇函数，所以 f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝0，解得 a＝－1，即f(x)＝lg ，由f(x)＝lg<0，得0<<1，解得－1
A．有最小值f(a) B．有最大值f
C．有最小值f(b) D．有最大值f(b)
解：令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，再令x＝ y＝0得f(0)＝0，代入得f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称．因为当x<0时，f(x)>0，∀y∈R，x＋y
另解：依条件取f(x)＝－x.故选C.
(3)()定义在R上的函数y＝f(x)在(－∞，a)上是增函数，且函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)≥f(x2)
C．f(x1)
类型四 函数周期性与奇偶性的应用
(1)()已知f(x＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝ －2x(x＋1)，则f的值为________．
解：f(x＋1)是周期为2的函数，则f(x)也是周期为2的函数，所以f＝f.
由f(x＋1)是奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
即f(x)＝－f(2－x)，
故f＝f＝－f＝－f＝－.
故填－.
点 拨：
利用奇偶性和周期性，将待求的函数值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)()已知函数f(x)满足 f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，当x∈(0，2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是 ( )
A．f(4.5)
点 拨：
易知函数f(x)在(0，2)上是增函数，根据图象的对称性及周期性，将待比较的函数值的自变量全部转化到(0，2)上，再比较大小．解这类问题建议数形结合，直观明了．
(1)()已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时， f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则 f(6)＝ ( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
解：当x>时，由f＝f，可得 f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)， f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2.故选D.
(2)()已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x均有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，则 f(2 018)＝________.
解：由函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝2对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝ －f(x＋4)＋2＝f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2 018)＝f(2＋252×8)＝f(2)，再令x＝－2，则f(2)＝－f(－2)＋2，又因为f(－2)＝f(2)，所以 f(2)＝.故填.
1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性．
2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)进行判断．
3．判断函数奇偶性的方法通常有
(1)定义法：根据定义判断．
(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．
(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．
4．判断周期函数的一般方法
(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．
(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝.
5．函数奇偶性和周期性的应用
已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．
6．解题中要注意以下性质的灵活运用
(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上．
1．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 ( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解：根据奇偶函数的定义可知，选项A，C中的函数是偶函数，选项B中的函数是奇函数．故选D.
2．()已知函数f(x)＝3x－x，则f(x) ( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
解：f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，函数是增函数．故选B.
3．已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是 ( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解：由f(x)的图象易判断f(x)不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.
4．已知f(x)是R上的奇函数，对x∈R都有 f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若f(－1)＝－2，则 f(2 019)＝ ( )
A．－2 B．－1 C．2 D．2 019
解：由f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，取x＝－2，得 f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0，所以f(2)＝ －f(－2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 019)＝f(4× 505－1)＝f(－1)＝－2.故选A.
5．()已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 020)，则a，b，c的大小关系正确的是 ( )
A．a
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，2)
D．(－2，1)
解：设x>0，则－x<0，所以g(x)＝－g(－x)＝ ln(1＋x)，所以f(x)＝ 易知函数f(x)是R上的单调递增函数，所以由f(2－x2)>f(x)，得2－x2>x，解得－2
解：由于f(－x)＝f(x)，所以ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋ 3＝0，所以a＝－.故填－.
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
解：由题意，f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()可得 2|a－1|<，即|a－1|<，所以
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：(1)因为在x∈(－1，1)上f(x)为奇函数，
所以f(0)＝0，即b＝0.所以f(x)＝.
又因为f＝，所以＝.解得a＝1.
所以f(x)＝，经检验适合题意．
(2)证明：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，x1x2＜1，则x1x2－1＜0，x2－x1＞0，故f(x1)－f(x2)＜0.所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)由f(t－1)＋f(t)＜0，
得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．
所以 得0＜t＜.
故t的取值范围为.
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时， f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝ f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝ f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝ f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
()已知函数f(x)＝x3－2x＋ ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解：因为f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，所以数f(x)在R上单调递增，又f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围为.故填.
1．()下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是 ( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
解：函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A为奇函数，不符合；选项B是偶函数，但其单调性不符合；选项D是非奇非偶函数．只有选项C符合要求．故选C.
2．下列函数不是周期函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝|sinx|
C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)
解：y＝sinx与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，y＝|sinx|的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，其图由 y＝sinx去掉y轴左侧图象，再将y轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数．故选C.
3．已知函数f(x)＝ 那么该函数是 ( )
A．奇函数，且在定义域上单调递减
B．奇函数，且在定义域上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
解：当x>0时，f(－x)＝－2x＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝2－x＝－f(x)．所以对定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．根据指数函数的性质知，f(x)在(－∞，0)上单调递增且值域为(－∞， －1)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且值域为(1，＋∞)，故函数f(x)在定义域上单调递增．故选B.
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 017)＋f(2 019)的值为( )
A．0 B．－4 C．－2 D．2
解：当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2 017)＋f(2 019)＝0.故选A.
5．()定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，且f(2)＝0，则不等式<0的解集是 ( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
解：因为<0，则f(x)在(－∞，0]单调递减，由题可知，当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－2，2)时，f(x)<0，则＝<0，即x与f(x)异号，解得(－∞，－2)∪(0，2)．故选B.
6．设定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝.若 a＝f，b＝f，c＝f，则 ( )
A．b
因为对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈(0，1]时， f′(x)＝≥0，即函数f(x)在(0，1]上单调递增．又a＝f＝f＝f，b＝f＝f＝f，c＝f＝f＝f，且<＜，所以b
解：因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，所以当x<0时，－x>0，f(－x)＝＋1＝－f(x)，即当x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.故填 －－1.
8．()已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且 f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解：f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.故填[－3，1]．
9．已知定义在R的函数f(x)＝ex－e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若关于x的不等式f(m－2)＋f(cos2x＋4sinx)<0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∀x∈R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．
(2)由题意知f(x)＝ex－e－x是R上的增函数，
f(m－2)<－f(cos2x＋4sinx)＝f(－cos2x－4sinx)，
则m<2－cos2x－4sinx＝sin2x－4sinx＋1＝ (sinx－2)2－3，
因为sinx∈[－1，1]，则当sinx＝1时，g(x)＝ sin2x－4sinx＋1取最小值－2，所以m<－2.
即实数m的取值范围是(－∞，－2)．
10．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.
所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．
定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为
( )
A．0 B．1 C．3 D．5
解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为T是函数f(x)的一个正周期，所以f(T)＝ f(－T)＝f(0)＝0，又f＝f＝f，且 f＝－f，所以f＝0，于是可得f＝f＝0，所以方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数可能为5.故选D.
相关试卷
高中数学高考第3节 函数的奇偶性与周期性 课件练习题： 这是一份高中数学高考第3节 函数的奇偶性与周期性 课件练习题，共52页。PPT课件主要包含了f－x＝fx，最小的正数，点击右图进入等内容，欢迎下载使用。
高中数学高考考点11 函数的奇偶性与周期性（解析版）： 这是一份高中数学高考考点11 函数的奇偶性与周期性（解析版），共15页。
高中数学高考第3讲 函数的奇偶性与周期性： 这是一份高中数学高考第3讲 函数的奇偶性与周期性，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
