高中数学高考2 第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

这是一份高中数学高考2 第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词，共14页。试卷主要包含了全称命题和特称命题，对充分必要条件判断不明致误，已知p，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
最新考纲
考向预测
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
命题
趋势
含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度.
核心
素养
逻辑推理、数学抽象


1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
[注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
2．全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题
　　名称
形式　　
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，
有p(x)成立
存在M中的一个x0，
使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，﹁p(x0)
∀x∈M，﹁p(x)
常用结论
1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，
(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；
(2)p是q的必要不充分条件⇔AB；
(3)p是q的充要条件⇔A＝B.
2．全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
常见误区
1．命题的条件与结论不明确致误；
2．含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误；
3．对充分必要条件判断不明致误．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．(多选)下列命题的否定是全称命题且为真命题的有(　　)
A．∃x∈R，x2－x＋0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
4．(易错题)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
5．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件．
解析：当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件．
答案：充要


　　　　　　全称命题与特称命题
[题组练透]
1．下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R，ex＞0　　　　　 B．∀x∈N，x2＞0
C．∃x0∈R，ln x0＜1 D．∃x0∈N*，sin x0＝1
解析：选B.对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．
2．(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p：∀x∈(0，＋∞)，x≠x，则﹁p为(　　)
A．∃x0∈(0，＋∞)，x0＝x0
B．∀x∈(0，＋∞)，x＝x
C．∃x0∈(－∞，0)，x0＝x0
D．∀x∈(－∞，0)，x＝x
解析：选A.由全称命题的否定为特称命题知，﹁p为∃x0∈(0，＋∞)，x0＝x0，故选A.
3．(多选)(2021·海南海口第四中学期中)下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法正确的是(　　)
A．∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1
B．∀a>－1，∃x0∈R，y＝(x0－2)2－10成立．故“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.

　　　　　　充分条件、必要条件的探求及应用
已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．
【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由p是q的必要条件，知S⊆P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【引申探究】
1．(变问法)本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，所以P⊆S，所以可以得到解得m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)．
2．(变问法)本例条件不变，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？
解：不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以所以故满足题意的m不存在．

利用充要条件求参数的关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．　

1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
解析：选C.命题∀x∈[1，3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1，3]，x2≤a⇔9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.
2．(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
解析：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是
即acg(x)max，即2>2＋m，解得m2n，则﹁p为(　　)
A．∀n∈N，n2>2n　　　　　 B．∃x∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：选C.因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论，所以﹁p：∀n∈N，n2≤2n，故选C.
3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．

4．已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)