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高中数学高考2 第2讲 等差数列及其前n项和
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这是一份高中数学高考2 第2讲 等差数列及其前n项和，共18页。试卷主要包含了等差数列与等差中项，等差数列的性质等内容，欢迎下载使用。
第2讲 等差数列及其前n项和
最新考纲
考向预测
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系．
命题趋势
等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.
核心素养
数学抽象、逻辑推理
1．等差数列与等差中项
(1)等差数列的定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
常用结论
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
常见误区
1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．
2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则S6等于( )
A．32 B．39
C．42 D．45
解析：选B.设公差为d，由题意得
解得所以S6＝6a1＋d＝39.
3．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C.因为d＝＝2，Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C.
4．(易错题)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．
解析：当n≥2时，an＝an－1＋，所以{an}是首项为1，公差为的等差数列，则an＝1＋(n－1)×＝n＋.
答案：an＝n＋
5．(2020·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝____________．
解析：通解：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
优解：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
答案：25
等差数列的基本运算
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若3S5－5S3＝135，则数列{an}的公差d＝________．
【解析】 (1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，
因为所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
因为所以解得
选项A，a1＝2×1－5＝－3；
选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；
选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.
(2)因为3S5－5S3＝135，所以3－
5＝135，所以15d＝135，解得d＝9.
【答案】 (1)A (2)9
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝( )
A．18 B．16
C．14 D．12
解析：选C.设{an}的公差为d，由可得解得所以a10＝－4＋9×2＝14，选C.
2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，
又a1＝1，所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
(2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180.
解得m＝5.
等差数列的判定与证明
已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：当n≥2时，Sn－Sn－1＝.
整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
两边同时除以SnSn－1，得－＝2.
又＝＝4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)可得数列的通项公式为＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
当n＝1时，a1＝，不适合上式．
所以an＝
【引申探究】 (变条件)本例的条件变为：a1＝，Sn＝(n≥2)，证明是等差数列．
证明：因为Sn＝，所以2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，故－＝2(n≥2)，
又＝＝4，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列．
等差数列的判定与证明方法
[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．49
C．35 D．63
解析：选B.由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，依题意得，d＝＝＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49.
2．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
解析：选B.数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，
设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＝－6，a6＝6，
所以4d＝a6－a2＝12，即d＝3.
所以an＝－6＋3(n－2)＝3n－12，
所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，
所以S4＜S1，S3＝S4.
故选B.
等差数列的性质及应用
角度一 等差数列项的性质
(1)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝( )
A．－ B．－3
C．－6 D．2
(2)(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )
A．d＜0
B．a7＝0
C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
【解析】 (1)因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则＝，故选A.
(2)S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．从而ABD均正确．
【答案】 (1)A (2)ABD
如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
角度二 等差数列前n项和的性质
(1)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A．100 B．120
C．390 D．540
(2)(2020·山东菏泽一中月考)已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
(2)设等差数列{an}的公差为d，项数为n，前n项和为Sn，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.
【答案】 (1)A (2)B
等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an；
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
角度三 等差数列的前n项和的最值
(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】 方法一：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D.
方法二：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得则Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值，故选D.
【答案】 D
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝20，则S9＝( )
A．27 B．36
C．45 D．54
解析：选B.依题意a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝20，a5＝4，所以S9＝×9＝9a5＝36.
2．(2020·成都市诊断性检测)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝3a3，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.＝＝＝＝×3＝.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C.因为在等差数列{an}中a1＞0，a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，所以S12＞0，S13＜0，所以满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.
[A级 基础练]
1．若等差数列{an}的公差为d，则数列{a2n－1}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为nd的等差数列
D．非等差数列
解析：选B.数列{a2n－1}其实就是a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d.
2．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝( )
A．2 B．7
C．14 D．28
解析：选C.因为2＋a5＝a6＋a3，所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d.解得a4＝2，所以S7＝＝7a4＝14.
3．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C.3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为ak·ak＋1<0，所以<0，所以
A．a10＝0
B．S10最小
C．S7＝S12
D．S20＝0
解析：选AC.根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d，又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a10＝0，故A一定正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，则有S7＝S12，故C一定正确；则S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d，因为d≠0，所以S20≠0，则D不正确．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则( )
A．a9＝17 B．a10＝18
C．S9＝81 D．S10＝90
解析：选B.因为对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，所以an＋1－an＝2.
所以数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，
则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选B.
6．已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)·(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.
答案：16
7．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
解析：设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.
答案：820
8．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N＋)，且a1＝2，则a20＝________．
解析：设an＝2＋(n－1)d，所以＝＝，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－2)2＝0，所以d＝2.所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.
答案：40
9．在①数列{Sn－n2}是公差为－3的等差数列，②Sn＝n2＋an－5n＋4，③数列{an}是公差不为0的等差数列，且a3a6＝a这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．
已知数列{an}中，a1＝－2，{an}的前n项和为Sn，且________．
求an.
解：若选择①，
因为a1＝－2，所以S1－12＝a1－1＝－3.
因为{Sn－n2}是公差为－3的等差数列，
所以Sn－n2＝－3－3(n－1)＝－3n.
所以Sn＝n2－3n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4.
当n＝1时，a1＝－2，符合上式．
所以an＝2n－4.
若选择②.
因为Sn＝n2＋an－5n＋4，
所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋an－1－5(n－1)＋4，
两式相减，得an＝n2－(n－1)2＋an－an－1－5n＋5(n－1)，
即an－1＝2n－6.
所以an＝2n－4(n∈N*)．
若选择③，
设等差数列{an}的公差为d，由a3a6＝a可得(a1＋2d)·(a1＋5d)＝(a1＋3d)2.
又a1＝－2，d≠0，所以d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－4.
10．若数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，a＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.
(1)求的值；
(2)求证：数列{an}为等差数列．
解：(1)因为对任意n∈N*，a＝anan＋2＋t，
令n＝2，得a＝a2a4＋t.①
令n＝1，得a＝a1a3＋t.②
①－②得a－a＝a2a4－a1a3，即a3(a3＋a1)＝a2(a2＋a4)，
所以＝＝2.
(2)证明：a＝anan＋2＋t，a＝an＋1an＋3＋t，
两式相减得＝，
所以数列为常数列，所以＝＝2，
所以an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．
[B级 综合练]
11．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则( )
A．a6＞0
B．－＜d＜－3
C．当Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中的最小项为第7项
解析：选ABCD.由题意，得S12＝×12＝6(a6＋a7)＞0.又a7＜0，所以a6＞0，所以A正确．根据题意得解得－＜d＜－3，所以B正确．因为S13＝×13＝13a7＜0，又S12＞0，所以当Sn＜0时，n的最小值为13，所以C正确．由上述分析可知，当n∈[1，6]时，an＞0，当n∈[7，＋∞)时，an＜0，当n∈[1，12]时，Sn＞0，当n∈[13，＋∞)时，Sn＜0，所以当n∈[1，6]时，＞0，当n∈[13，＋∞)时，＞0，当n∈[7，12]时，＜0，且当n∈[7，12]时，{an}为单调递减数列(an＜0)，Sn为单调递减数列(Sn＞0)，所以中的最小项为第7项，所以D正确．故选ABCD.
12．若数列{an}为等差数列，an＞0，前n项和为Sn，且S2n－1＝a，则a9的值是________．
解析：因为S2n－1＝a，所以＝a，即＝a，所以an＝a，又an＞0，所以an＝2n＋1，所以a9＝19.
答案：19
13．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解：(1)设{an}的公差为d，
由S9＝－a5得a1＋4d＝0，
由a3＝4得a1＋2d＝4，
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
14．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
解：(1)设公差为d，因为{an}为等差数列，
所以a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，又公差d＞0，所以a2＜a4，所以a2＝5，a4＝13.
所以所以所以an＝4n－3.
(2)存在．由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，
假设存在常数k，使数列{}为等差数列．
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
所以＝＝n，
当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数，
所以数列{}为等差数列．
故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列．
[C级 创新练]
15．多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃，长期食用会致癌．下面是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：
名称
萘
蒽
并四苯
…
并n苯
结构简式
…
…
分子式
C10H8
C14H10
C18H12
…
…
由此推断并十苯的分子式为________．
解析：因为多环芳香烃的分子式中C的下标分别是10，14，18，…，H的下标分别是8，10，12，…，所以多环芳香烃的分子式中C的下标是公差为4的等差数列，设C的下标构成的等差数列为{an}，其公差为d1，则a4＝18，d1＝4，故an＝4n＋2，所以a10＝42.多环芳香烃的分子式中H的下标是公差为2的等差数列，设H的下标构成的等差数列为{bn}，其公差为d2，则b4＝12，d2＝2，故bn＝2n＋4.所以b10＝24，所以并十苯的分子式为C42H24.
答案：C42H24
16．已知定义：在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列．下列命题正确的是( )
A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列
D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
解析：选ABD.若{an}是等方差数列，则a－a＝p，故{a}是等差数列，故A正确；an＝(－1)n时，a－a＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正确；若{an}是等方差数列，则由A知{a}是等差数列，从而{a}(k∈N*，k为常数)是等差数列，设其公差为d，则有a－a＝d，由定义知{akn}是等方差数列，故C不正确；若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则a－a＝p，an－an－1＝d，所以a－a＝(an－an－1)(an＋an－1)＝d(an＋an－1)＝p，若d≠0，则an＋an－1＝.又an－an－1＝d，解得an＝，{an}为常数列；若d＝0，该数列也为常数列，故D正确．
第2讲 等差数列及其前n项和
最新考纲
考向预测
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系．
命题趋势
等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.
核心素养
数学抽象、逻辑推理
1．等差数列与等差中项
(1)等差数列的定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
常用结论
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
常见误区
1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．
2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则S6等于( )
A．32 B．39
C．42 D．45
解析：选B.设公差为d，由题意得
解得所以S6＝6a1＋d＝39.
3．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C.因为d＝＝2，Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C.
4．(易错题)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．
解析：当n≥2时，an＝an－1＋，所以{an}是首项为1，公差为的等差数列，则an＝1＋(n－1)×＝n＋.
答案：an＝n＋
5．(2020·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝____________．
解析：通解：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
优解：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
答案：25
等差数列的基本运算
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若3S5－5S3＝135，则数列{an}的公差d＝________．
【解析】 (1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，
因为所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
因为所以解得
选项A，a1＝2×1－5＝－3；
选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；
选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.
(2)因为3S5－5S3＝135，所以3－
5＝135，所以15d＝135，解得d＝9.
【答案】 (1)A (2)9
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝( )
A．18 B．16
C．14 D．12
解析：选C.设{an}的公差为d，由可得解得所以a10＝－4＋9×2＝14，选C.
2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，
又a1＝1，所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
(2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180.
解得m＝5.
等差数列的判定与证明
已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：当n≥2时，Sn－Sn－1＝.
整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
两边同时除以SnSn－1，得－＝2.
又＝＝4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)可得数列的通项公式为＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
当n＝1时，a1＝，不适合上式．
所以an＝
【引申探究】 (变条件)本例的条件变为：a1＝，Sn＝(n≥2)，证明是等差数列．
证明：因为Sn＝，所以2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，故－＝2(n≥2)，
又＝＝4，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列．
等差数列的判定与证明方法
[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．49
C．35 D．63
解析：选B.由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，依题意得，d＝＝＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49.
2．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
解析：选B.数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，
设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＝－6，a6＝6，
所以4d＝a6－a2＝12，即d＝3.
所以an＝－6＋3(n－2)＝3n－12，
所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，
所以S4＜S1，S3＝S4.
故选B.
等差数列的性质及应用
角度一 等差数列项的性质
(1)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝( )
A．－ B．－3
C．－6 D．2
(2)(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )
A．d＜0
B．a7＝0
C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
【解析】 (1)因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则＝，故选A.
(2)S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．从而ABD均正确．
【答案】 (1)A (2)ABD
如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
角度二 等差数列前n项和的性质
(1)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A．100 B．120
C．390 D．540
(2)(2020·山东菏泽一中月考)已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
(2)设等差数列{an}的公差为d，项数为n，前n项和为Sn，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.
【答案】 (1)A (2)B
等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an；
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
角度三 等差数列的前n项和的最值
(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】 方法一：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D.
方法二：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得则Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值，故选D.
【答案】 D
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝20，则S9＝( )
A．27 B．36
C．45 D．54
解析：选B.依题意a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝20，a5＝4，所以S9＝×9＝9a5＝36.
2．(2020·成都市诊断性检测)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝3a3，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.＝＝＝＝×3＝.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C.因为在等差数列{an}中a1＞0，a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，所以S12＞0，S13＜0，所以满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.
[A级 基础练]
1．若等差数列{an}的公差为d，则数列{a2n－1}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为nd的等差数列
D．非等差数列
解析：选B.数列{a2n－1}其实就是a1，a3，a5，a7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d.
2．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝( )
A．2 B．7
C．14 D．28
解析：选C.因为2＋a5＝a6＋a3，所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d.解得a4＝2，所以S7＝＝7a4＝14.
3．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C.3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为ak·ak＋1<0，所以<0，所以
A．a10＝0
B．S10最小
C．S7＝S12
D．S20＝0
解析：选AC.根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d，又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a10＝0，故A一定正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，则有S7＝S12，故C一定正确；则S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d，因为d≠0，所以S20≠0，则D不正确．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则( )
A．a9＝17 B．a10＝18
C．S9＝81 D．S10＝90
解析：选B.因为对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，所以an＋1－an＝2.
所以数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，
则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选B.
6．已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)·(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.
答案：16
7．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
解析：设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.
答案：820
8．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N＋)，且a1＝2，则a20＝________．
解析：设an＝2＋(n－1)d，所以＝＝，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－2)2＝0，所以d＝2.所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.
答案：40
9．在①数列{Sn－n2}是公差为－3的等差数列，②Sn＝n2＋an－5n＋4，③数列{an}是公差不为0的等差数列，且a3a6＝a这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．
已知数列{an}中，a1＝－2，{an}的前n项和为Sn，且________．
求an.
解：若选择①，
因为a1＝－2，所以S1－12＝a1－1＝－3.
因为{Sn－n2}是公差为－3的等差数列，
所以Sn－n2＝－3－3(n－1)＝－3n.
所以Sn＝n2－3n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4.
当n＝1时，a1＝－2，符合上式．
所以an＝2n－4.
若选择②.
因为Sn＝n2＋an－5n＋4，
所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋an－1－5(n－1)＋4，
两式相减，得an＝n2－(n－1)2＋an－an－1－5n＋5(n－1)，
即an－1＝2n－6.
所以an＝2n－4(n∈N*)．
若选择③，
设等差数列{an}的公差为d，由a3a6＝a可得(a1＋2d)·(a1＋5d)＝(a1＋3d)2.
又a1＝－2，d≠0，所以d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－4.
10．若数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，a＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.
(1)求的值；
(2)求证：数列{an}为等差数列．
解：(1)因为对任意n∈N*，a＝anan＋2＋t，
令n＝2，得a＝a2a4＋t.①
令n＝1，得a＝a1a3＋t.②
①－②得a－a＝a2a4－a1a3，即a3(a3＋a1)＝a2(a2＋a4)，
所以＝＝2.
(2)证明：a＝anan＋2＋t，a＝an＋1an＋3＋t，
两式相减得＝，
所以数列为常数列，所以＝＝2，
所以an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．
[B级 综合练]
11．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则( )
A．a6＞0
B．－＜d＜－3
C．当Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中的最小项为第7项
解析：选ABCD.由题意，得S12＝×12＝6(a6＋a7)＞0.又a7＜0，所以a6＞0，所以A正确．根据题意得解得－＜d＜－3，所以B正确．因为S13＝×13＝13a7＜0，又S12＞0，所以当Sn＜0时，n的最小值为13，所以C正确．由上述分析可知，当n∈[1，6]时，an＞0，当n∈[7，＋∞)时，an＜0，当n∈[1，12]时，Sn＞0，当n∈[13，＋∞)时，Sn＜0，所以当n∈[1，6]时，＞0，当n∈[13，＋∞)时，＞0，当n∈[7，12]时，＜0，且当n∈[7，12]时，{an}为单调递减数列(an＜0)，Sn为单调递减数列(Sn＞0)，所以中的最小项为第7项，所以D正确．故选ABCD.
12．若数列{an}为等差数列，an＞0，前n项和为Sn，且S2n－1＝a，则a9的值是________．
解析：因为S2n－1＝a，所以＝a，即＝a，所以an＝a，又an＞0，所以an＝2n＋1，所以a9＝19.
答案：19
13．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解：(1)设{an}的公差为d，
由S9＝－a5得a1＋4d＝0，
由a3＝4得a1＋2d＝4，
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
14．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
解：(1)设公差为d，因为{an}为等差数列，
所以a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，又公差d＞0，所以a2＜a4，所以a2＝5，a4＝13.
所以所以所以an＝4n－3.
(2)存在．由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，
假设存在常数k，使数列{}为等差数列．
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
所以＝＝n，
当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数，
所以数列{}为等差数列．
故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列．
[C级 创新练]
15．多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃，长期食用会致癌．下面是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：
名称
萘
蒽
并四苯
…
并n苯
结构简式
…
…
分子式
C10H8
C14H10
C18H12
…
…
由此推断并十苯的分子式为________．
解析：因为多环芳香烃的分子式中C的下标分别是10，14，18，…，H的下标分别是8，10，12，…，所以多环芳香烃的分子式中C的下标是公差为4的等差数列，设C的下标构成的等差数列为{an}，其公差为d1，则a4＝18，d1＝4，故an＝4n＋2，所以a10＝42.多环芳香烃的分子式中H的下标是公差为2的等差数列，设H的下标构成的等差数列为{bn}，其公差为d2，则b4＝12，d2＝2，故bn＝2n＋4.所以b10＝24，所以并十苯的分子式为C42H24.
答案：C42H24
16．已知定义：在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列．下列命题正确的是( )
A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列
D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
解析：选ABD.若{an}是等方差数列，则a－a＝p，故{a}是等差数列，故A正确；an＝(－1)n时，a－a＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正确；若{an}是等方差数列，则由A知{a}是等差数列，从而{a}(k∈N*，k为常数)是等差数列，设其公差为d，则有a－a＝d，由定义知{akn}是等方差数列，故C不正确；若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则a－a＝p，an－an－1＝d，所以a－a＝(an－an－1)(an＋an－1)＝d(an＋an－1)＝p，若d≠0，则an＋an－1＝.又an－an－1＝d，解得an＝，{an}为常数列；若d＝0，该数列也为常数列，故D正确．
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