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高中数学高考2 第2讲 函数的单调性与最值
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这是一份高中数学高考2 第2讲 函数的单调性与最值，共19页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的最值，求下列函数的值域，已知函数f＝eq \f.等内容，欢迎下载使用。
第2讲 函数的单调性与最值
最新考纲
考向预测
1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性.
命题
趋势
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
核心
素养
逻辑推理、数学抽象、数学运算
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得
f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得
f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
常见误区
1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．
2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(4)所有的单调函数都有最值．( )
(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
解析：选A.对于A，y1＝在区间(0，＋∞)上是减函数，y2＝x在区间(0，＋∞)上是增函数，则y＝－x在区间(0，＋∞)上是减函数；B，C选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在区间(0，＋∞)上是增函数．
3．(易错题)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B.设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．
解析：可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2
5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
确定函数的单调性(区间)
角度一 判断或证明函数的单调性
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】 方法一：设－1
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，因为－1
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度二 求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解】 f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．
【引申探究】 (变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为[1－，1]和[1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－]和[1，1＋]．
确定函数的单调区间的方法
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B.y＝|x|(1－x)＝
＝
＝
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在上单调递增．
2．(多选)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是( )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
解析：选ABC.由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在 (0，＋∞)上是增函数．对于A项，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以A项符合题意；对于B项，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以B项符合题意；对于C项，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以C项符合题意；对于D项，y＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故选ABC.
3．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为( )
A. B．[1，2]
C. D.
解析：选B.要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1，2]．
函数的最值(值域)
(1)函数y＝的值域是________．
(2)函数y＝x＋的最小值为________．
(3)(2020·福建漳州质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)(分离常数法)因为y＝＝－1＋，又因为1＋x2≥1，所以0<≤2，所以－1<－1＋≤1，所以函数y的值域为(－1，1]．
(2)方法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
方法二(单调性法)：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1.
(3)(基本不等式法)由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.
【答案】 (1)(－1，1] (2)1 (3)[4，＋∞)
求函数最值的五种常用方法
[注意] 导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养．
1．已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝4x＋ B．y＝x＋
C．y＝－x2＋2x＋3 D．y＝5－
解析：选D.易知函数y＝4x＋在[1，5]上单调递增，所以4x＋≥5，A不符合题意；
因为x≥1，所以y＝x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意；
因为函数y＝5－在(0，＋∞)上单调递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5－＝4，符合题意．故选D.
2．(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
解析：令 ＝t，则t≥2，
所以x2＝t2－4，所以y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
所以h(t)min＝h(2)＝，所以y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.
答案：
函数单调性的应用
角度一 比较函数值的大小
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x2>x1>1时，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
【答案】 D
利用函数的单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
角度二 解函数不等式
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
【解析】 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
角度三 求参数的值(范围)
已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．
C． D．
【解析】 由f(x)是减函数，得
解得≤a<，所以实数a的取值范围是.
【答案】 C
利用单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[注意] 求分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)
C. D.
解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－2]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
解析：选B.因为函数y＝|2x－a|的单调增区间是，且函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，所以[－1，＋∞)⊆，所以≤－1，解得a≤－2.故选B.
思想方法系列3 数形结合法求函数的值域或最值
(1)若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)
(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是( )
A．(3，7) B．(9，25)
C．(13，49) D．(9，49)
【解析】 (1)分别画出y＝2x(x<1)和y＝－log2x(x≥1)的图象，如图．由图象可知，函数的值域为(－∞，2)．
(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，
即函数y＝f(x)为奇函数，由f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0，得f(x2－6x＋21)
当x>3时，(x－3)2＋(y－4)2<4表示以M(3，4)为圆心，2为半径的右半圆内部，x2＋y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方，可知当延长OM交半圆于点B时，x2＋y2的值最大，即(＋2)2＝49，当在点A时x2＋y2的值最小，最小值为32＋22＝13，故x2＋y2的取值范围是(13，49)．
【答案】 (1)A (2)C
(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如两点间距离公式或直线的斜率等．
(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形式及运算确定其值域．
求函数y＝＋的值域．
解：y＝＋＝
＋，
把函数看成坐标系内的点与点间的距离和，P(x，0)，A(－2，－2)，B(2，1)，
即y＝|PA|＋|PB|.
通过观察图象，当点P在线段AB上时，y＝|PA|＋|PB|取到最小值，y＝|AB|＝5.
所以|PA|＋|PB|≥5，即函数y的值域为[5，＋∞)．
[A级 基础练]
1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C.当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A． B．－
C．－2 D．2
解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝.
3．若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－1，2)
C．[1，2) D．[－1，2)
解析：选D.因为函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.所以m的取值范围是[－1，2)．
4．已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)
D．f(a)－f(b)
5．(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
6．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1，2]．
答案：[1，2]
7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
答案：
8．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)
9．求下列函数的值域．
(1)f(x)＝
(2)y＝x－.
解：(1)当x<1时，x2－x＋1＝＋≥；当x>1时，0<<1.因此函数f(x)的值域是(0，＋∞)．
(2)y＝x－＝－≥－，所以函数y的值域为.
10．已知函数f(x)＝.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．
(2)由题意可设00，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数．在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝.
[B级 综合练]
11．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )
A．sgn[g(x)]＝sgn x
B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
解析：选B.因为f(x)是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，f(x)f(ax)，即g(x)>0.由符号函数sgn x＝知，sgn [g(x)]＝＝－sgn x.
12．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．
解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2.
答案：[0，2]
13．已知函数f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(0，1]．
14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
[C级 创新练]
15．(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是( )
A．f(－3.9)＝f(4.1)
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)的最小值为0
D．方程f(x)－＝0有无数个根
解析：选ACD.根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f(x)＝x－[x]＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f(x)＝x－[x]＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f(x)＝x－[x]＝x－2.画函数f(x)＝x－[x]的图象如图所示：
根据定义可知，f(－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－4＝0.1，即f(－3.9)＝f(4.1)，所以A正确；从图象可知，函数f(x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f(x)与y＝的图象有无数个交点，即f(x)＝有无数个根，所以D正确．故选ACD.
16．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)求F(x)的最小值m(a)．
解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，
当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a.
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．
(2)设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即
m(a)＝
第2讲 函数的单调性与最值
最新考纲
考向预测
1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性.
命题
趋势
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
核心
素养
逻辑推理、数学抽象、数学运算
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得
f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得
f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
常见误区
1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．
2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(4)所有的单调函数都有最值．( )
(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
解析：选A.对于A，y1＝在区间(0，＋∞)上是减函数，y2＝x在区间(0，＋∞)上是增函数，则y＝－x在区间(0，＋∞)上是减函数；B，C选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在区间(0，＋∞)上是增函数．
3．(易错题)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B.设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．
解析：可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2
5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
确定函数的单调性(区间)
角度一 判断或证明函数的单调性
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】 方法一：设－1
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，因为－1
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度二 求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解】 f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．
【引申探究】 (变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为[1－，1]和[1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－]和[1，1＋]．
确定函数的单调区间的方法
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B.y＝|x|(1－x)＝
＝
＝
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在上单调递增．
2．(多选)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是( )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
解析：选ABC.由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在 (0，＋∞)上是增函数．对于A项，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以A项符合题意；对于B项，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以B项符合题意；对于C项，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以C项符合题意；对于D项，y＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故选ABC.
3．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为( )
A. B．[1，2]
C. D.
解析：选B.要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1，2]．
函数的最值(值域)
(1)函数y＝的值域是________．
(2)函数y＝x＋的最小值为________．
(3)(2020·福建漳州质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)(分离常数法)因为y＝＝－1＋，又因为1＋x2≥1，所以0<≤2，所以－1<－1＋≤1，所以函数y的值域为(－1，1]．
(2)方法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
方法二(单调性法)：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1.
(3)(基本不等式法)由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.
【答案】 (1)(－1，1] (2)1 (3)[4，＋∞)
求函数最值的五种常用方法
[注意] 导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养．
1．已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝4x＋ B．y＝x＋
C．y＝－x2＋2x＋3 D．y＝5－
解析：选D.易知函数y＝4x＋在[1，5]上单调递增，所以4x＋≥5，A不符合题意；
因为x≥1，所以y＝x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意；
因为函数y＝5－在(0，＋∞)上单调递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5－＝4，符合题意．故选D.
2．(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
解析：令 ＝t，则t≥2，
所以x2＝t2－4，所以y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
所以h(t)min＝h(2)＝，所以y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.
答案：
函数单调性的应用
角度一 比较函数值的大小
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x2>x1>1时，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<
所以b>a>c.
【答案】 D
利用函数的单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
角度二 解函数不等式
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
【解析】 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
角度三 求参数的值(范围)
已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．
C． D．
【解析】 由f(x)是减函数，得
解得≤a<，所以实数a的取值范围是.
【答案】 C
利用单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[注意] 求分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)
C. D.
解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－2]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
解析：选B.因为函数y＝|2x－a|的单调增区间是，且函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，所以[－1，＋∞)⊆，所以≤－1，解得a≤－2.故选B.
思想方法系列3 数形结合法求函数的值域或最值
(1)若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)
(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是( )
A．(3，7) B．(9，25)
C．(13，49) D．(9，49)
【解析】 (1)分别画出y＝2x(x<1)和y＝－log2x(x≥1)的图象，如图．由图象可知，函数的值域为(－∞，2)．
(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，
即函数y＝f(x)为奇函数，由f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0，得f(x2－6x＋21)
当x>3时，(x－3)2＋(y－4)2<4表示以M(3，4)为圆心，2为半径的右半圆内部，x2＋y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方，可知当延长OM交半圆于点B时，x2＋y2的值最大，即(＋2)2＝49，当在点A时x2＋y2的值最小，最小值为32＋22＝13，故x2＋y2的取值范围是(13，49)．
【答案】 (1)A (2)C
(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如两点间距离公式或直线的斜率等．
(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形式及运算确定其值域．
求函数y＝＋的值域．
解：y＝＋＝
＋，
把函数看成坐标系内的点与点间的距离和，P(x，0)，A(－2，－2)，B(2，1)，
即y＝|PA|＋|PB|.
通过观察图象，当点P在线段AB上时，y＝|PA|＋|PB|取到最小值，y＝|AB|＝5.
所以|PA|＋|PB|≥5，即函数y的值域为[5，＋∞)．
[A级 基础练]
1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C.当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A． B．－
C．－2 D．2
解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝.
3．若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－1，2)
C．[1，2) D．[－1，2)
解析：选D.因为函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.所以m的取值范围是[－1，2)．
4．已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)
D．f(a)－f(b)
5．(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
6．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1，2]．
答案：[1，2]
7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
答案：
8．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)
9．求下列函数的值域．
(1)f(x)＝
(2)y＝x－.
解：(1)当x<1时，x2－x＋1＝＋≥；当x>1时，0<<1.因此函数f(x)的值域是(0，＋∞)．
(2)y＝x－＝－≥－，所以函数y的值域为.
10．已知函数f(x)＝.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．
(2)由题意可设0
[B级 综合练]
11．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )
A．sgn[g(x)]＝sgn x
B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
解析：选B.因为f(x)是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，f(x)
12．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．
解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2.
答案：[0，2]
13．已知函数f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(0，1]．
14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
[C级 创新练]
15．(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是( )
A．f(－3.9)＝f(4.1)
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)的最小值为0
D．方程f(x)－＝0有无数个根
解析：选ACD.根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f(x)＝x－[x]＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f(x)＝x－[x]＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f(x)＝x－[x]＝x－2.画函数f(x)＝x－[x]的图象如图所示：
根据定义可知，f(－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－4＝0.1，即f(－3.9)＝f(4.1)，所以A正确；从图象可知，函数f(x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f(x)与y＝的图象有无数个交点，即f(x)＝有无数个根，所以D正确．故选ACD.
16．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)求F(x)的最小值m(a)．
解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，
当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a.
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．
(2)设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即
m(a)＝
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