高中数学高考2 第2讲　两直线的位置关系　新题培优练

[基础题组练]

1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　 B．充要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.

2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)

A.   B．4

C.   D．2

解析：选C.因为l1∥l2，所以＝≠，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2的距离d＝＝.

3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)

A．(1，2)   B．(2，1)

C．(1，2)或(2，－1)   D．(2，1)或(－1，2)

解析：选C.设P(x，5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．

4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　)

A．2x＋3y－12＝0　　　　　   B．2x－3y－12＝0

C．2x－3y＋12＝0   D．2x＋3y＋12＝0

解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.

5．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为　　(　　)

A．(－2，4)　　　　　　   B．(－2，－4)

C．(2，4)   D．(2，－4)

解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2，4)．故选C.

6．(一题多解)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．

解析：法一：由方程组

解得

(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行，没有交点)

所以交点坐标为.

又因为交点位于第一象限，所以

解得－<k<.

法二：如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)．

而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．

因为两直线的交点在第一象限，

所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，

所以动直线的斜率k需满足kPA<k<kPB.

因为kPA＝－，kPB＝.

所以－<k<.

答案：

7．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．

解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：

y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，

由题设有＝，

即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4.

此时直线方程为4x－y－2＝0.

又若所求直线的斜率不存在，方程为x＝1，

满足题设条件．

故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.

答案：4x－y－2＝0或x＝1

8．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．

解析：设AB的中点坐标为M(1，3)，

kAB＝＝，

所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．

即2x＋y－5＝0.

令y＝0，则x＝，

即P点的坐标为(，0)，

|AB|＝＝2.

P到AB的距离为|PM|＝＝.

所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.

答案：

9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：(1)因为l1⊥l2，

所以a(a－1)－b＝0.

又因为直线l1过点(－3，－1)，

所以－3a＋b＋4＝0.

故a＝2，b＝2.

(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，

所以直线l1的斜率存在．

所以＝1－a.①

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，

所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②

联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.

(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；

(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．

解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

所以＝3，解得λ＝或λ＝2.

所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.

(2)由

解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．

所以dmax＝|PA|＝.

[综合题组练]

1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为(　　)

A．7   B．9

C．11   D．－7

解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.

2．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　)

A．(5，＋∞)   B．(0，5]

C．(，＋∞)   D．(0，]

解析：选D.当直线PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，]．故选D.

3．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：x－my＋2m－1＝0，l2：mx＋y－m－2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为(　　)

A．3   B.

C．5   D.

解析：选D.将直线l1的方程变形得(x－1)＋m(2－y)＝0，

由，得，则直线l1过定点A(1，2)，同理可知，直线l2过定点A(1，2)，

所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1，2)，易知，直线l1⊥l2，如图所示，

易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝＝，

设|OM|＝a，|ON|＝b，则a2＋b2＝5，

四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤＝，

当且仅当，即当a＝b＝时，等号成立，

因此，四边形OMPN面积的最大值为，故选D.

4．(应用型)如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．

解析：从特殊位置考虑．如图，

因为点A(－2，0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．

答案：(4，＋∞)

5．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.

设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，

则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离

d＝＝，

解得m＝－5(舍去)或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.

设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，

则点C到直线3x－y＋n＝0的距离

d＝＝，

解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.

6．(创新型)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；

(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．

解：(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．

易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，

设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①

又线段BB′的中点在l上，故3a－b－6＝0.②

由①②解得a＝3，b＝3，

所以B′(3，3)．

所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.

由可得P0(2，5)．

(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′.

连接AC′交l于P1，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．

又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，

故由可得P1.