高中数学高考2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

这是一份高中数学高考2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示，共20页。试卷主要包含了平面向量基本定理，平面向量共线的坐标表示，已知A，B，C等内容，欢迎下载使用。

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲
考向预测
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
命题趋势
平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.
核心素养
数学运算


1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．向量共线的充要条件的两种形式
(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
常见误区
1．平面向量的基底中一定不含零向量．
2．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点坐标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A.方法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
3．(易错题)(多选)已知向量a，b是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是(　　)
A．若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线
B．若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λa
C．若a与b不共线，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb
D．若对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线
解析：选ACD.对于A，若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线，所以A正确．对于B，若a与b共线，则不一定存在实数λ，使得b＝λa，如b＝(1，0)，a＝(0，0)时不满足，所以B错误．对于C，根据平面向量的基本定理知，a与b作为基底，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，所以C正确．对于D，根据平面向量的基本定理知，对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线，所以D正确．故选ACD.
4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案：(1，5)
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，
所以＝－.
答案：－


　　　　　　平面向量基本定理的应用
(1)(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A.＋　　　　 B．－
C.＋ D．＋
(2)(2021·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．

【解析】　(1)

如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.故选AC.
(2)由题图可设＝x(x＞0)，则＝x(＋)＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
【答案】　(1)AC　(2)

运算遵法则　基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　

1．(一题多解)(2020·长沙市四校模拟考试)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：选D.

方法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC＝2AD，所以AD＝CF，又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以＝.因为DE＝EC，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选D.
方法二：

如图，连接BD，因为DE＝EC.所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋ ＋)＝＋＝a＋b，故选D.
2．已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：依题意，设＝λ(0<λ<1)，
由＋＋＝0，知＝－(＋)，
所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．
答案：(－2，0)

　　　　　　平面向量的坐标运算
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
解析：选A.3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
2．已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
解析：选D.设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
3．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

解析：

方法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)．因为＝λ＋μ＝，所以解得所以λ＋μ＝.
方法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.
答案：

向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．　

　　　　　　平面向量共线的坐标表示
(1)(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是(　　)
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
(2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B．
C. D．
【解析】　(1)由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A错误．因为a＋b＝(x－3，3＋x)，又(a＋b)∥a，所以3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误．由已知，得ma＋b＝(mx－3，3m＋x)．又(ma＋b)∥a，所以x(3m＋x)－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错误．由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确．故选ABC.
(2)＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】　(1)ABC　(2)A

(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．　

1．(多选)已知a＝(1，2)，b＝(4，k)，若(a＋2b)∥(3a－b)，则下列说法正确的是(　　)
A．k＝8 B．|b|＝4
C．a·b＝12 D．a∥b
解析：选ABD.因为a＝(1，2)，b＝(4，k)，所以a＋2b＝(1，2)＋(8，2k)＝(9，2＋2k)，3a－b＝(3，6)－(4，k)＝(－1，6－k)，因为(a＋2b)∥(3a－b)，所以9(6－k)＝(－1)×(2＋2k)，则k＝8，A正确；|b|＝＝4，B正确；a·b＝1×4＋2×8＝20，C错误；由于1×8＝2×4，a∥b，故D正确，所以选ABD.
2．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
解析：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．
答案：(2，4)
3．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)方法一：因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
方法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.

思想方法系列10　巧建系，促运算

如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是(　　)
A.　　　 B．
C. D．


【解析】　如图建立平面直角坐标系，则＝(4，0)，＝(0，4)，＝m＋n＝(4m，4n)，设Q(4，t)，t∈[0，4]，则P在圆(x－4)2＋(y－t)2＝1上，设P(4＋cos θ，t＋sin θ)，则4m＋4n＝4＋t＋sin，当t＝0，θ＝时，m＋n取得最小值1－，当t＝4，θ＝时，m＋n取得最大值2＋，所以m＋n的取值范围是.
【答案】　A

巧建系妙解题，常见的建系方法如下
(1)利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系．
(2)利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．　
如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点．动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　)

A．[－4，4]
B．[－，]
C．[－5，5]
D．[－6，6]
解析：

选C.如图建立平面直角坐标系，
令正三角形边长为3，则＝i，＝－i＋j，可得i＝，j＝＋，由图知当P在C点时有，＝j＝2＋3，此时x＋y有最大值5，同理点P在与C相对的下顶点时有＝－j＝－2－3，此时x＋y有最小值－5.

[A级　基础练]
1．(2020·陕西汉中月考)已知向量a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2，1)，则b＝(　　)
A．(1，2)　　　　　　　　 B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
解析：选C.因为a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2，1)②，所以②－①得3b＝(－3，6)，所以b＝(－1，2)．故选C.
2．设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)
A. B．－
C．－3 D．3
解析：选B.方法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.
故选B.
方法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，
故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.
故选B.
3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A.易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知
所以所以E.
4．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
解析：选ABD.各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD.
5．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．2 B．
C．3 D．
解析：选B.如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，
易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，
于是＝＝，
因此＝＋＝＋，
因为＝x＋y，所以x＝，y＝1，故x＋y＝.

6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，λ)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则实数λ＝________．
解析：a＋2b＝(4，2λ－1)，2a－b＝(3，－2－λ)，
因为(a＋2b)∥(2a－b)，
所以4(－2－λ)＝3(2λ－1)，解得λ＝－.
答案：－
7．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得所以
答案：　－
8．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．
10．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解：(1)因为＝2，所以＝，
所以＝(－)＝－，
又因为＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以＝＋，
又因为＝m＋，所以＝＋(m＋1)，
依题意，是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
[B级　综合练]
11．(多选)已知向量e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
解析：选AC.因为e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，所以向量a＝λ1e1＋λ2e2＝(－λ1，2λ1)＋(2λ2，λ2)＝(2λ2－λ1，2λ1＋λ2)．若a＝(1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足λ1λ2<0，所以A符合题意．若a＝(0，1)，则2λ2－λ1＝0，不满足λ1λ2<0，所以B不符合题意．若a＝(－1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足λ1λ2<0，所以C符合题意．若a＝(0，－1)，则2λ2－λ1＝0，不满足λ1λ2<0，所以D不符合题意．故选AC.
12．已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c都是非零向量，且a，b不共线，则该方程的解的情况是(　　)
A．至少有一个解 B．至多有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数个解
解析：选B.由平面向量基本定理可得，
c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则方程ax2＋bx＋c＝0可变为ax2＋bx＋λa＋μb＝0，
即(λ＋x2)a＋(μ＋x)b＝0，
因为a，b不共线，所以
可知方程组可能无解， 也可能有一个解．
所以方程ax2＋bx＋c＝0至多有一个解，故选B.
13.

如图，在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，设＝a，＝b.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若＝，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由．
解：(1)因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，所以＝－，＝2，＝.因为＝a，＝b，所以＝＋＝－－＝－a－b，＝＋＝2＋＝2＋(＋)＝＋＝a＋b.
(2)C，D，E三点不共线．理由如下：
因为＝，
所以＝＋＝＋＝－－＝a＋b－b＝a＋b，
由(1)知＝a＋b，
所以不存在实数λ，使得＝λ.
所以C，D，E三点不共线．
14．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．

(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．
解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝.
(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，
因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.
[C级　创新练]
15．(多选)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是(　　)
A．线段AB的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量垂直于的充要条件是x1x2＋y1y2＝0
解析：选AC.由中点的意义知A正确；
只有在e1，e2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；
由向量平行的充要条件得C正确；
只有e1，e2互相垂直时，与垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，D不正确．
故选AC.
16．已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设＝a＋b，则a＋b的最大值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：

选C.根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，4)，B(3，0)，易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由＝a＋b＝(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以＝(3a，4z－4a)．设Q(x，y)，所以消去a，得y＝－x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－x＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝，|AR|＝，所以点A到直线y＝－x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离为，所以＝，解得z＝，即a＋b的最大值为，故选C.