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高中数学高考3 第3讲 函数的奇偶性及周期性
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这是一份高中数学高考3 第3讲 函数的奇偶性及周期性，共15页。试卷主要包含了函数的奇偶性，函数周期性的常用结论等内容，欢迎下载使用。
第3讲 函数的奇偶性及周期性
最新考纲
考向预测
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
命题
趋势
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
核心
素养
数学抽象、逻辑推理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
常见误区
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．
3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是( )
A．－1 B．1
C．－3 D．0
解析：选B.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．
解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
函数的奇偶性
角度一 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；
(2)f(x)＝ln ；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
【解】 (1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为(－2，2)，
f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．
角度二 函数奇偶性的应用
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)(2021·黑龙江哈尔滨师范大学附中月考)已知函数f(x)＝cos ＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝( )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 (1)通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.
(2)设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数，
则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，
所以g(－a)＝－g(a)＝－，
即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D.
【答案】 (1)D (2)D
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
1．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选C.由题知f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
解析：选B.因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
所以y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)
＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．
3．(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝ B．g(x)＝
C．f(－2)
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.
联立①②
解得所以f(－2)＝，f(－3)＝，g(－1)＝<0，所以g(－1)
解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，
因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
答案：
函数的周期性
(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 (1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
【答案】 (1)C (2)D
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．
解析： 因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.
答案：6
[A级 基础练]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
解析：选AC.选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.
2．函数f(x)＝x＋(x≠0)是( )
A．奇函数，且在(0，3)上是增函数
B．奇函数，且在(0，3)上是减函数
C．偶函数，且在(0，3)上是增函数
D．偶函数，且在(0，3)上是减函数
解析：选B.因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋为奇函数．
又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，
所以f(x)在(0，3)上是减函数．
3．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>时，f＝f，则f(5)＝( )
A． B．－
C．－2 D．2
解析：选B.因为当x>时，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故选B.
4．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选D.因为f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
7．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．
解析：由f(x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f(x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
所以当x＝4时，f(x)max＝.
答案：2
8．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
解析：方法一：因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案：2
9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)因为f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝f
＝－f
＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
[B级 综合练]
11．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，y＝f(x)不一定是奇函数，如y＝|f(x)|＝x2，故选B.
12．已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N＋，定义fn(x)＝，那么f2 022(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2 022(2)＝f3×674(2)＝f3(2)＝2，故选C.
13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
14．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x＜0时，
f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)可画出f(x)的图象，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
[C级 创新练]
15．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.
以上三个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．
对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调
递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．故选B.
16．(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( )
A．y＝sin xcos x B．y＝ln x＋ex
C．y＝2x D．y＝x2－2x
解析：选AB.由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”，故选AB.
第3讲 函数的奇偶性及周期性
最新考纲
考向预测
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
命题
趋势
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
核心
素养
数学抽象、逻辑推理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
常见误区
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．
3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是( )
A．－1 B．1
C．－3 D．0
解析：选B.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．
解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
函数的奇偶性
角度一 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；
(2)f(x)＝ln ；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
【解】 (1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为(－2，2)，
f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．
角度二 函数奇偶性的应用
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)(2021·黑龙江哈尔滨师范大学附中月考)已知函数f(x)＝cos ＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝( )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 (1)通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.
(2)设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数，
则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，
所以g(－a)＝－g(a)＝－，
即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D.
【答案】 (1)D (2)D
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
1．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选C.由题知f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
解析：选B.因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
所以y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)
＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．
3．(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝ B．g(x)＝
C．f(－2)
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.
联立①②
解得所以f(－2)＝，f(－3)＝，g(－1)＝<0，所以g(－1)
解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，
因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
答案：
函数的周期性
(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 (1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
【答案】 (1)C (2)D
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．
解析： 因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.
答案：6
[A级 基础练]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
解析：选AC.选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.
2．函数f(x)＝x＋(x≠0)是( )
A．奇函数，且在(0，3)上是增函数
B．奇函数，且在(0，3)上是减函数
C．偶函数，且在(0，3)上是增函数
D．偶函数，且在(0，3)上是减函数
解析：选B.因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋为奇函数．
又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，
所以f(x)在(0，3)上是减函数．
3．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>时，f＝f，则f(5)＝( )
A． B．－
C．－2 D．2
解析：选B.因为当x>时，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故选B.
4．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选D.因为f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
7．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．
解析：由f(x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f(x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
所以当x＝4时，f(x)max＝.
答案：2
8．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
解析：方法一：因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案：2
9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)因为f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝f
＝－f
＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
[B级 综合练]
11．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，y＝f(x)不一定是奇函数，如y＝|f(x)|＝x2，故选B.
12．已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N＋，定义fn(x)＝，那么f2 022(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2 022(2)＝f3×674(2)＝f3(2)＝2，故选C.
13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
14．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x＜0时，
f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)可画出f(x)的图象，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
[C级 创新练]
15．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.
以上三个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．
对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调
递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．故选B.
16．(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( )
A．y＝sin xcos x B．y＝ln x＋ex
C．y＝2x D．y＝x2－2x
解析：选AB.由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”，故选AB.
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