高中数学高考5 3　平面向量的数量积

这是一份高中数学高考5 3　平面向量的数量积，共8页。试卷主要包含了数量积的概念，数量积的运算律及常用结论，数量积的性质，数量积的坐标表示，故填－6，已知向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。
5．3　平面向量的数量积



1．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．
a·b的几何意义：数量积a·b等于___________________________________________．
2．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律
①交换律：___________________；
②数乘结合律：_________________________；
③分配律：______________________________．
(2)常用结论
①(a±b)2＝________________________；
②(a＋b)·(a－b)＝_________________；
③ a2＋b2＝0⇔______________________；
④|－|________＋．
3．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
① e·a＝____________．
② a⊥b⇔____________．
③当a与b同向时，a·b＝____________；
当a与b反向时，a·b＝____________．
特别地，a·a＝____________或＝____________．
④ cosθ＝____________．
⑤≤____________．
4．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝____________；a2＝_______________；＝________________．
② a⊥b⇔____________________．
③≤________________________．

自查自纠：
1．cosθ　a·b　|a||b|cosθ　投影　a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积
2．(1)①a·b＝b·a　②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(2)①a2±2a·b＋b2　②a2－b2　③a＝0且b＝0　④ ≤
3．①|a|cosθ　②a·b＝0　③|a||b|　－|a||b|
|a|2　　④　⑤|a||b|
4．①x1x2＋y1y2　x＋y　
②x1x2＋y1y2＝0　③


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是 (　　)
A．|a|＝|b|＝1
B．a·b＝1
C．当a，b反向时，a＋b＝0
D．当a，b同向时，a＝b
解：因为a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，有|a|＝|b|＝1，则A正确；对于B，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，则B错误；对于C，当a，b反向时，有a＋b＝0，则C正确；对于D，当a，b同向时，有a＝b，则D正确．故选B．
()已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ (　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
解：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝ 2＋1＝3．故选B．
()已知非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为 (　　)
A． B． C． D．π
解：非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)· (3a－2b)＝0，所以3a2＋a·b－2b2＝0，设a，b的夹角为θ，所以3|a|2＋|a|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以3× |b|2＋|b|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以cosθ＝，θ＝，所以a与b的夹角为．故选A．
()已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
解：|a＋2b|＝＝2．故填2．
已知＝(2，1)，点C(－1，0)，D(4，5)，则向量在方向上的投影为________．
解：因为点C(－1，0)，D(4，5)，所以＝(5，5)，又＝(2，1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝．故填．


类型一　数量积的定义及几何意义
　(1)若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)
①a·b＝±·⇔a∥b；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③a·c＝b·c⇔a＝b；
④(a·b)·c＝a·(b·c)．
解：a·b＝cosθ，θ为a，b的夹角，则 cosθ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a＝－b，a⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边为a的倍数．故填①②．

(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为 (　　)
A． B． C．3 D．－

解：由已知可以知道，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形．且∠A＝，又因为||＝||＝||，所以∠C＝，∠B＝，所以AB＝，AC＝1，故在方向上的投影为||cos＝．故选A．

点　拨：
数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．其几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．
　　
　(1) ()设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的
(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为m，n是非零向量，所以m·n＝ |m|·|n|cos〈m，n〉＜0的充要条件是cos〈m，n〉＜0．因为λ＜0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉 ＜0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n＜0”；而由“m·n＜0”，可推得“cos〈m，n〉＜0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，故不能推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．故选A．

(2)()已知向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，，则向量a在向量b方向上的投影为 (　　)
A．1 B．－1 C．5 D．－5
解：由题意可得(a＋b)2＝16，(a－b)2＝36，即a2＋b2＋2a·b＝16，a2＋b2－2a·b＝36，两式相减可得a·b＝－5，则向量a在向量b方向上的投影为 ＝＝－1．故选B．
类型二　数量积的基本运算
　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝ (　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
解：由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①
由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②
①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1．故选A．

(2)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量， a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
解：因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－，所以k＋(1－2k)·－2＝0，解得k＝．故填．

(3)()在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若·＝0，则点A的横坐标为________．
解：设A(a，2a)(a>0)，则由圆心C为AB中点得C，易得⊙C：(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0，与y＝2x联立解得点D的横坐标xD＝1，所以D(1，2)(或由·＝0及圆的几何性质知BD⊥AD，则lBD：y＝－(x－5)，与y＝2x联立即可求得D(1，2))．所以＝(5－a，－2a)，＝，由·＝0得(5－a)(1－)＋(－2a)(2－a)＝0，a2－2a－3＝0，a＝3或a＝－1，因为a>0，所以a＝3．故填3．

点　 拨：
平面向量数量积的四种运算方法：①定义法，要注意两个向量的夹角；②坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算；③利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量；④运用平方的技巧．
　　
　(1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b| 等于 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．1
解：向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|cos120°＝－|b|，|a＋b|2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2．所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝ －1(舍去)或|b|＝4．故选B．
(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
解：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×cos－8＝－6．故填－6．

(3)()如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，

AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则 (　　)
A．I1