还剩7页未读，
继续阅读
高中数学高考5 4 平面向量的应用
展开
这是一份高中数学高考5 4 平面向量的应用，共10页。试卷主要包含了向量坐标形式的几个重要结论，故选D，故填6等内容，欢迎下载使用。
5．4 平面向量的应用
1．用向量方法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量的符号形式及图形形式的重要结论
(1)向量的和与差的模：＝___________________________________________，
＝________________________．
(2)①G为△ABC重心的一个充要条件：___________________________________________；
②O为△ABC外心的一个充要条件：___________________________________________；
③P为△ABC垂心的一个充要条件：___________________________________________．
(3)不同的三点A，B，C共线⇔存在α，β∈R，使得＝α＋β，O为平面任意一点，且____________．
3．向量坐标形式的几个重要结论
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，θ为a与b的夹角．
(1)长度或模
＝____________；＝_______________．
(2)夹角
cosθ＝____________＝__________________．
(3)位置关系
a∥b⇔____________(b≠0且λ∈R)⇔____________．
a⊥b⇔____________⇔____________．
自查自纠：
2．(1)
(2)①＋＋＝0 ②＝＝
③·＝·＝· (3)α＋β＝1
3．(1)
(2)
(3)a＝λb x1y2－x2y1＝0 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有 ( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
解：f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b．
依题意知f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，即a⊥b．故选A．
()在△ABC中， AB＝2AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝ ( )
A．3 B．2 C． D．
解：因为＝＋＝＋＝(－)＋＝＋，所以·＝2＋·＝－＝．故选D．
()已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点， ＝λ，且·＝－，则实数λ的取值为( )
A． B． C． D．
解：由平面向量的平行四边形法则，得＝λ＝λ(＋)，＝－＝λ(＋)－＝ (λ－1)＋λ，因为·＝－，所以λ(＋)·[(λ－1)＋λ]＝－，即λ[4(λ－1)＋λ]＝ －，解得λ＝．
另解：建立适当的平面直角坐标系，用向量的坐标运算求解．故选B．
已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________．
解：由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．故填(1，2)．
()已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
解：设，夹角为α，则·＝||·||cosα≤||·||≤2(1＋2)＝6，所以最大值是6．故填6．
类型一 向量与平面几何
(1))若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为 ( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解：因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选C．
(2)()已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________．
解法一：如图，因为OA＝OB＝2，AB＝2，所以∠A＝，所以·＝·(＋)
＝2＋·＝||2＋||·||cos
＝||2－||＝－≥－，
当且仅当||＝时取等号，
此时||＝＝＝．
所以向量与的夹角的余弦值为＝＝－．
解法二：由已知∠AOB＝，以O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则B(2，0)，A(－1，)，
令P(x，y)，＝λ(0≤λ≤1)，则(x－2，y)＝λ(－3，)，
所以x＝－3λ＋2，y＝λ，即P(－3λ＋2，λ)．则＝(3λ－3，－λ)，＝(3λ－2，－λ)，·＝(3λ－3)·(3λ－2)＋(－λ)(－λ)＝12λ2－18λ＋6．
因为0≤λ≤1，所以当λ＝时，·取最小值，此时＝，＝，与夹角的余弦值为＝＝－．故填－．
点 拨：
向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题．根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法，②坐标法．
(1)若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(－)·(－)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的 ( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：由已知得·＝0，所以AP⊥CB，所以点P的轨迹一定过△ABC的垂心．故选D．
(2)()如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝ ( )
A． B．－
C． D．－
解：菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，所以·＝2×2×cos60°＝2，又因为＝＋＝＋，＝＝(－)，所以·＝·(－)＝(2＋·－ 2)＝＝－．
另解：连接AC，BD交于O，易知AC⊥BD，则·＝(＋)·＝·＝1×1× cos120°＝－．故选D．
类型二 向量与函数、三角函数
(1) 已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解：由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<．所以a与b的夹角范围为．故填．
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于 ( )
A． B．π C．π D．π
解：由题意知M，N，又·＝×π－A2＝0，所以A＝π．故选B．
(3)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
(Ⅰ)若a⊥b，求θ；
(Ⅱ)求|a＋b|的最大值．
解：(Ⅰ)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，
因为－＜θ＜，所以tanθ＝－1，所以θ＝－．
(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，
得a＋b＝(sinθ＋1，1＋cosθ)．
所以|a＋b|＝
＝
＝．
当sin＝1时，|a＋b|取得最大值＝＝＋1．
即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1．
点 拨：
向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容．此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．
(1)()在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1．若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为，则||的最小值为________．
解：由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为．又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为．故填．
(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．
解：由图象可知，M，N(xN，－1)，所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得 xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3．故填3．
(3)已知向量m＝，n＝．若m·n＝1，则cos＝________．
解：m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋＝sin＋，
因为m·n＝1，所以sin＝．
因为cos＝1－2sin2＝，
所以cos＝－cos＝－．故填－．
类型三 向量与解析几何
已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若＋ ＝，则a的值为 ( )
A．±1 B．± C．± D．±2
解：因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，
故||＝||＝||＝，
因为＋＝，所以(＋)2＝2，
即2＋2·＋2＝2，
即4＋4cos∠AOB＝2，故∠AOB＝120°．
则圆心O到直线AB的距离d＝·cos60°＝＝，则|a|＝1，即a＝±1．故选A．
点 拨：
向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．
()在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解：设P(x，y)，由·≤20，易得2x－y＋5≤0．由 解得 或 令M(－5，－5)，N(1，7)，由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧上，结合限制条件－5≤ x≤5，可得点P横坐标的取值范围为[－5，1]．故填[－5，1]．
类型四 向量在物理中的简单应用
在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
解：如图所示，渡船速度为，水流速度为，
船实际垂直过江的速度为，
依题意知||＝，||＝25．
因为＝＋＝＋，
所以在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，从而∠BOD＝30°，即航向为北偏西30°．故填北偏西30°．
点 拨：
在使用向量解决物理问题的一般步骤：①认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；②通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释．
一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为____________．
解：F1＋F2＝－F3，所以＝＝4＋16＋2×2×4×＝28，所以＝2．故填2．
1．充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用．
2．利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法，利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法，建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题．
3．向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等．
4．注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题．如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等．
5．应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问题．如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等．如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题．
1．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解：因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x， －y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D．
2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝ ( )
A．300 J B．100 J
C．200 J D．3000 J
解：W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100× cos60°＝300(J)．故选A．
3．已知O是坐标原点，点A(－2，1)，若点M(x，y)为平面区域内的一个动点，则·的取值范围是 ( )
A．[－1，0] B．[－1，2]
C．[0，1] D．[0，2]
解：·＝－2x＋y，画出不等式组表示的平面区域如图所示．
平移直线y＝2x易知，当点M的坐标为(1，1)时，·取最小值－1，当点M的坐标为(0，2)时，·取最大值2．故选B．
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：取AD的中点O，连接MO，易知AD＝1，MO＝，所以·＝(－)(＋)＝ 2－2＝2．故选B．
5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是 ( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
解：因为＝2a，＝2a＋b，所以a＝，b＝－＝．因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以|b|＝2；a·b＝·＝－1，故a，b不垂直；4a＋b＝2＋＝＋，故(4a＋b)·＝(＋)·＝－2＋2＝0，所以(4a＋b)⊥．故选D．
6．已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数 f(x＋1)是 ( )
A．周期为4的奇函数
B．周期为4的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解：由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sinx，
所以f(x＋1)＝sin＝cosx，它是周期为4的偶函数．故选B．
7．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
解：在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可知|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，||＝||＝， ∠APO＝∠BPO＝，则，的夹角为，所以·＝||||cos＝××＝．故填．
8．()在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则·的最小值为________．
解：设E(0，m)．依题意，①当F(0，m＋2)时，＝(1，m)，＝(－2，m＋2)，·＝m2＋2m－2＝(m＋1)2－3，最小值为－3；②当F(0，m－2)时，最小值仍为－3．故填－3．
9．已知平面向量a＝(4，5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cos的值．
解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cosα× (－4tanα)＝0，解得sinα＝．又因为α∈，
所以cosα＝，tanα＝＝，
所以a＝(4，4)，b＝(3，－3)，所以a＋b＝(7，1)，
因此|a＋b|＝＝5．
(2)cos＝cosαcos－sinαsin
＝×－×＝．
10．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝，n＝，m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cosB＝，求b的长．
解：(1)已知m⊥n，所以m·n＝·＝sinA－(cosA＋1)＝0，
即sinA－cosA＝1，即sin＝．
因为0
(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，
sinB＝＝＝．
由正弦定理知＝，
所以b＝a·＝＝．
11．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2， ＋＋＝0，且||＝||，求在方向上的投影．
解：如图，由题意可设D为BC的中点，由 ＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，所以A，O，D共线且||＝2||，又O为△ABC的外心，所以AO为BC的中垂线，所以||＝ ||＝||＝2，||＝1，所以||＝，所以在方向上的投影为．
()已知F为抛物线M：y2＝4x的焦点， A，B，C为抛物线M上三点，当＋＋＝0时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 ( )
A．0个 B．1个
C．3个 D．无数个
解：抛物线方程为y2＝4x，A，B，C为曲线M上三点，
当＋＋＝0时，F为△ABC的重心，
用如下办法构造△ABC，
连接AF并延长至D，使FD＝AF，
当D在抛物线内部时，
设D(x0，y0)，若存在以D为中点的弦BC，
设B(m1，n1)，C(m2，n2)，
则m1＋m2＝2x0，n1＋n2＝2y0，＝kBC，
则两式相减化为(n1＋n2)·＝4，
kBC＝＝，
所以总存在以D为中点的弦BC，
所以这样的三角形有无数个．故选D．
5．4 平面向量的应用
1．用向量方法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量的符号形式及图形形式的重要结论
(1)向量的和与差的模：＝___________________________________________，
＝________________________．
(2)①G为△ABC重心的一个充要条件：___________________________________________；
②O为△ABC外心的一个充要条件：___________________________________________；
③P为△ABC垂心的一个充要条件：___________________________________________．
(3)不同的三点A，B，C共线⇔存在α，β∈R，使得＝α＋β，O为平面任意一点，且____________．
3．向量坐标形式的几个重要结论
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，θ为a与b的夹角．
(1)长度或模
＝____________；＝_______________．
(2)夹角
cosθ＝____________＝__________________．
(3)位置关系
a∥b⇔____________(b≠0且λ∈R)⇔____________．
a⊥b⇔____________⇔____________．
自查自纠：
2．(1)
(2)①＋＋＝0 ②＝＝
③·＝·＝· (3)α＋β＝1
3．(1)
(2)
(3)a＝λb x1y2－x2y1＝0 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有 ( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
解：f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b．
依题意知f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，即a⊥b．故选A．
()在△ABC中， AB＝2AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝ ( )
A．3 B．2 C． D．
解：因为＝＋＝＋＝(－)＋＝＋，所以·＝2＋·＝－＝．故选D．
()已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点， ＝λ，且·＝－，则实数λ的取值为( )
A． B． C． D．
解：由平面向量的平行四边形法则，得＝λ＝λ(＋)，＝－＝λ(＋)－＝ (λ－1)＋λ，因为·＝－，所以λ(＋)·[(λ－1)＋λ]＝－，即λ[4(λ－1)＋λ]＝ －，解得λ＝．
另解：建立适当的平面直角坐标系，用向量的坐标运算求解．故选B．
已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________．
解：由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．故填(1，2)．
()已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
解：设，夹角为α，则·＝||·||cosα≤||·||≤2(1＋2)＝6，所以最大值是6．故填6．
类型一 向量与平面几何
(1))若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为 ( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解：因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选C．
(2)()已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________．
解法一：如图，因为OA＝OB＝2，AB＝2，所以∠A＝，所以·＝·(＋)
＝2＋·＝||2＋||·||cos
＝||2－||＝－≥－，
当且仅当||＝时取等号，
此时||＝＝＝．
所以向量与的夹角的余弦值为＝＝－．
解法二：由已知∠AOB＝，以O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则B(2，0)，A(－1，)，
令P(x，y)，＝λ(0≤λ≤1)，则(x－2，y)＝λ(－3，)，
所以x＝－3λ＋2，y＝λ，即P(－3λ＋2，λ)．则＝(3λ－3，－λ)，＝(3λ－2，－λ)，·＝(3λ－3)·(3λ－2)＋(－λ)(－λ)＝12λ2－18λ＋6．
因为0≤λ≤1，所以当λ＝时，·取最小值，此时＝，＝，与夹角的余弦值为＝＝－．故填－．
点 拨：
向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题．根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法，②坐标法．
(1)若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(－)·(－)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的 ( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：由已知得·＝0，所以AP⊥CB，所以点P的轨迹一定过△ABC的垂心．故选D．
(2)()如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝ ( )
A． B．－
C． D．－
解：菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，所以·＝2×2×cos60°＝2，又因为＝＋＝＋，＝＝(－)，所以·＝·(－)＝(2＋·－ 2)＝＝－．
另解：连接AC，BD交于O，易知AC⊥BD，则·＝(＋)·＝·＝1×1× cos120°＝－．故选D．
类型二 向量与函数、三角函数
(1) 已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解：由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<．所以a与b的夹角范围为．故填．
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于 ( )
A． B．π C．π D．π
解：由题意知M，N，又·＝×π－A2＝0，所以A＝π．故选B．
(3)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
(Ⅰ)若a⊥b，求θ；
(Ⅱ)求|a＋b|的最大值．
解：(Ⅰ)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，
因为－＜θ＜，所以tanθ＝－1，所以θ＝－．
(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，
得a＋b＝(sinθ＋1，1＋cosθ)．
所以|a＋b|＝
＝
＝．
当sin＝1时，|a＋b|取得最大值＝＝＋1．
即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1．
点 拨：
向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容．此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．
(1)()在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1．若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为，则||的最小值为________．
解：由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为．又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为．故填．
(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．
解：由图象可知，M，N(xN，－1)，所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得 xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3．故填3．
(3)已知向量m＝，n＝．若m·n＝1，则cos＝________．
解：m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋＝sin＋，
因为m·n＝1，所以sin＝．
因为cos＝1－2sin2＝，
所以cos＝－cos＝－．故填－．
类型三 向量与解析几何
已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若＋ ＝，则a的值为 ( )
A．±1 B．± C．± D．±2
解：因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，
故||＝||＝||＝，
因为＋＝，所以(＋)2＝2，
即2＋2·＋2＝2，
即4＋4cos∠AOB＝2，故∠AOB＝120°．
则圆心O到直线AB的距离d＝·cos60°＝＝，则|a|＝1，即a＝±1．故选A．
点 拨：
向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．
()在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解：设P(x，y)，由·≤20，易得2x－y＋5≤0．由 解得 或 令M(－5，－5)，N(1，7)，由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧上，结合限制条件－5≤ x≤5，可得点P横坐标的取值范围为[－5，1]．故填[－5，1]．
类型四 向量在物理中的简单应用
在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
解：如图所示，渡船速度为，水流速度为，
船实际垂直过江的速度为，
依题意知||＝，||＝25．
因为＝＋＝＋，
所以在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，从而∠BOD＝30°，即航向为北偏西30°．故填北偏西30°．
点 拨：
在使用向量解决物理问题的一般步骤：①认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；②通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释．
一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为____________．
解：F1＋F2＝－F3，所以＝＝4＋16＋2×2×4×＝28，所以＝2．故填2．
1．充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用．
2．利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法，利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法，建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题．
3．向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等．
4．注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题．如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等．
5．应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问题．如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等．如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题．
1．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解：因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x， －y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D．
2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝ ( )
A．300 J B．100 J
C．200 J D．3000 J
解：W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100× cos60°＝300(J)．故选A．
3．已知O是坐标原点，点A(－2，1)，若点M(x，y)为平面区域内的一个动点，则·的取值范围是 ( )
A．[－1，0] B．[－1，2]
C．[0，1] D．[0，2]
解：·＝－2x＋y，画出不等式组表示的平面区域如图所示．
平移直线y＝2x易知，当点M的坐标为(1，1)时，·取最小值－1，当点M的坐标为(0，2)时，·取最大值2．故选B．
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：取AD的中点O，连接MO，易知AD＝1，MO＝，所以·＝(－)(＋)＝ 2－2＝2．故选B．
5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是 ( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
解：因为＝2a，＝2a＋b，所以a＝，b＝－＝．因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以|b|＝2；a·b＝·＝－1，故a，b不垂直；4a＋b＝2＋＝＋，故(4a＋b)·＝(＋)·＝－2＋2＝0，所以(4a＋b)⊥．故选D．
6．已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数 f(x＋1)是 ( )
A．周期为4的奇函数
B．周期为4的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解：由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sinx，
所以f(x＋1)＝sin＝cosx，它是周期为4的偶函数．故选B．
7．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
解：在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可知|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，||＝||＝， ∠APO＝∠BPO＝，则，的夹角为，所以·＝||||cos＝××＝．故填．
8．()在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则·的最小值为________．
解：设E(0，m)．依题意，①当F(0，m＋2)时，＝(1，m)，＝(－2，m＋2)，·＝m2＋2m－2＝(m＋1)2－3，最小值为－3；②当F(0，m－2)时，最小值仍为－3．故填－3．
9．已知平面向量a＝(4，5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cos的值．
解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cosα× (－4tanα)＝0，解得sinα＝．又因为α∈，
所以cosα＝，tanα＝＝，
所以a＝(4，4)，b＝(3，－3)，所以a＋b＝(7，1)，
因此|a＋b|＝＝5．
(2)cos＝cosαcos－sinαsin
＝×－×＝．
10．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝，n＝，m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cosB＝，求b的长．
解：(1)已知m⊥n，所以m·n＝·＝sinA－(cosA＋1)＝0，
即sinA－cosA＝1，即sin＝．
因为0
(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，
sinB＝＝＝．
由正弦定理知＝，
所以b＝a·＝＝．
11．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2， ＋＋＝0，且||＝||，求在方向上的投影．
解：如图，由题意可设D为BC的中点，由 ＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，所以A，O，D共线且||＝2||，又O为△ABC的外心，所以AO为BC的中垂线，所以||＝ ||＝||＝2，||＝1，所以||＝，所以在方向上的投影为．
()已知F为抛物线M：y2＝4x的焦点， A，B，C为抛物线M上三点，当＋＋＝0时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 ( )
A．0个 B．1个
C．3个 D．无数个
解：抛物线方程为y2＝4x，A，B，C为曲线M上三点，
当＋＋＝0时，F为△ABC的重心，
用如下办法构造△ABC，
连接AF并延长至D，使FD＝AF，
当D在抛物线内部时，
设D(x0，y0)，若存在以D为中点的弦BC，
设B(m1，n1)，C(m2，n2)，
则m1＋m2＝2x0，n1＋n2＝2y0，＝kBC，
则两式相减化为(n1＋n2)·＝4，
kBC＝＝，
所以总存在以D为中点的弦BC，
所以这样的三角形有无数个．故选D．
相关试卷
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练，共38页。试卷主要包含了证明， 在中，已知，，，求、．等内容，欢迎下载使用。
高中数学高考第五章 5 4平面向量的应用-学生版(1)： 这是一份高中数学高考第五章 5 4平面向量的应用-学生版(1)，共16页。试卷主要包含了判断下列结论是否正确等内容，欢迎下载使用。
人教版高中数学高考一轮复习训练-- 平面向量的数量积与平面向量的应用： 这是一份人教版高中数学高考一轮复习训练-- 平面向量的数量积与平面向量的应用，共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
