高中数学高考9 第8讲　曲线与方程　新题培优练

这是一份高中数学高考9 第8讲　曲线与方程　新题培优练，共8页。试卷主要包含了方程2＋2＝0表示的曲线是，如图所示，已知圆A等内容，欢迎下载使用。
 [基础题组练]
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
故或
2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A­B­C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　)

解析：选D.当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，故y′＝1－(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D项图象所示，故选D.
3．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)
A．圆　　　　　　　　　　 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．
因为2＝λ·，
所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，
当λ＝1时，轨迹是圆；
当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；
当λ4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.
因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.
(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.
因此其轨迹方程为y2＝－8x.
10.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解：由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)．
设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，
得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)．　①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．　②
由①②相乘得y2＝(x2－9)．　③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.　④
将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
11.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足＝.
(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
解：(1)设M(x，y)，则D(x，0)，
由＝，知P(x，2y)，
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．
(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，
设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
所以y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)
＝k(x1＋x2)－6k
＝－6k＝.
因为四边形OAEB为平行四边形，
所以＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，
又＝(x，y)，
所以
消去k得，x2＋4y2－6x＝0，
由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0，
得k2＜，所以0＜x＜.
所以顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6y＝0.
[综合题组练]
1．(创新型)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是(　　)
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．
由题意知|PE|2－|PM|2＝1，
又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，
即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，
所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．
由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，
所以点P的轨迹为抛物线．
2．(创新型)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．
3.(创新型)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.
4．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________．
解析：由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，
则|AC|＋|BC|＝10＞8＝|AB|，所以满足椭圆定义．
令椭圆方程为＋＝1，则a′＝5，c′＝4，b′＝3，
则轨迹方程为＋＝1(x≠±5)．
答案：＋＝1(x≠±5)
5．(应用型)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
解：由题意知F，
设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，
则ab≠0，且A，B，P，
Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，则1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝|a－b|·|FD|＝|a－b|，S△PQF＝.
由题意可得|a－b|＝，
所以x1＝1或x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，
此时E点坐标为(1，0)，
满足方程y2＝x－1.
综上所求的轨迹方程为y2＝x－1.
6．(应用型)(2019·湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.
(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；
(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ＞1)，求证：＝λ.
解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y＝(x＋)，①
直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②
设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－6)，
又mn＝2，整理得＋＝1.故点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)证明：设过点R的直线l：x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，
由消去x，得(t2＋3)y2＋6ty＋3＝0，(*)
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，
由(1)得F(2，0)，要证＝λ，即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，　
只需证2－x1＝λ(x2－2)，只需＝－，即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，又x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6，所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，
而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，即证．