2023年华东师大版数学八年级下册《矩形、菱形与正方形》单元质量检测(含答案)
展开《矩形、菱形与正方形》单元质量检测
一 、选择题
1.矩形的对角线一定具有的性质是( )
A.互相垂直 B.互相垂直且相等 C.相等 D.互相垂直平分
2.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.菱形不具备的性质是( )
A.是轴对称图形 B.是中心对称图形
C.对角线互相垂直 D.对角线一定相等
4.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形面积是( )
A.16 B.16 C.8 D.8
5.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
6.如图，将正方形对折后展开(图④是连续两次对折后再展开)，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，则四边形AECF是 ( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
8.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.如果再增加条件AC＝BD，此四边形一定是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.都有可能
9.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是( )
A.矩形 B.菱形
C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形
10.如图，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
A.8 B. C. D.
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B´点处，若AB/＝4，则折痕EF的长度为( )
A.8 B.4 C.5 D.10
12.已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平.如图，依次连结点A，B，C，D得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是( )
A. B. C. D.
二 、填空题
13.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6 cm，则AB＝________cm.
14.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加 条件，就能保证四边形EFGH是菱形．
15.在矩形ABCD中，A(4，1)，B(0，1)，C(0，3)，则点D的坐标为 ．
16.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为 ．
17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 .
18.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝ .
三 、作图题
19.有5个边长为1的正方形，排列形式如图：请把它们分割后拼接成一个大正方形．
① 大正方形的边长为 ．
②画出分割线及拼接图．
四 、解答题
20.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.
(1)求证：AF＝EF；
(2)求EF长.
21.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且AC＝2DE，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
(1)求证：OE＝CD；
(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
22.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
(1)求证：AP＝BQ；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
23.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积.
24.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；
(3)在(2)的条件下折痕EF的长．
25.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12 cm，AD＝20 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.
(1)求证：四边形BFEP为菱形；
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；
②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.
图1 图2
答案
1.C.
2.C
3.D.
4.C
5.C
6.C.
7.C
8.B.
9.C.
10.C.
11.C.
12.C.
13.答案为：12.
14.答案为：AC＝BD．
15.答案为：(4，3)．
16.答案为：3．
17.答案为：10.
18.答案为：.
19.解：①大正方形的边长为：.
②如图所示：
20.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC＝7，BC＝AD＝12，
∴∠BAF＋∠AFB＝90°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF＝45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC＝DC＝7，
∴AB＝FC，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFB＋∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
在△ABF和△FCE中，
∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C，
∴△ABF≌△FCE(ASA)，
∴EF＝AF；
(2)解：BF＝BC﹣FC＝12﹣7＝5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF＝＝，则EF＝AF＝.
21.证明：(1)四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AD＝CD，
∵DE∥AC且DE＝AC，
∴DE＝OA＝OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∴OE＝AD，
∴OE＝CD；
(2)解：∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．
∴在Rt△ACE中，AE＝．
22.证明：(1)∵正方形ABCD
∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP＋∠DAP＝90°
∴∠BAQ＝∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB＝∠DPA＝90°
∴△AQB≌△DPA(AAS)
∴AP＝BQ
(2)①AQ﹣AP＝PQ
②AQ﹣BQ＝PQ
③DP﹣AP＝PQ
④DP﹣BQ＝PQ
23.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
又∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形；
(2)连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×6＝3.
∵AB＝5，
∴OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∴S▱ABCD＝×AC×BD＝24.
24.证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，
∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝，OE＝，
∴EF＝2OE＝2．
25.(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形.
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝20，CD＝AB＝12，∠A＝∠D＝90°.
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝20.
在Rt△CDE中，DE＝＝16，
∴AE＝AD－DE＝20－16＝4.
在Rt△APE中，AE＝4，AP＝12－PB＝12－PE，
∴EP2＝42＋(12－EP)2.
解得EP＝，
∴菱形BFEP的边长为 cm.
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝4.
当点P与点A重合时，如图，
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝12，
∴点E在边AD上移动的最大距离为8 cm.
