山东省德州市平原县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

这是一份山东省德州市平原县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省德州市平原县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项中的图形是中心对称图形，故符合题意；
C选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形，理解中心对称图形的概念，找准对称中心是解答的关键．
2．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】由题意可以得到的值，然后代入所求代数式即可得解．
【详解】解：由题意可得：
，
∴，
∴
=2×2+2022=2026，
故选D ．
【点睛】本题考查代数式的综合应用，熟练掌握一元二次方程根的意义、已知式子的值求代数式的值的方法是解题关键 ．
3．已知函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（ ）．
A．1 B．-1 C．1或-1 D．任意实数
【答案】A
【详解】试题分析：反比例函数的解析式为y=k（k为常数，且k≠0），根据题意可得：－2=－1且m+1≠0，解得：m=1.
考点：反比例函数的定义.
4．如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有，，三个接触点，则该球的半径是 ．

A．10 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【分析】连接AB，OA，OE，则AB=16cm，OE⊥AB于点F，然后根据垂径定理得到AF=AB=8cm，再设圆的半径为r，利用勾股定理得到关于r的方程，然后解方程即可.
【详解】
解：连接AB，OA，OE，则AB=16cm，OE⊥AB于点F，
∵OE⊥AB，
∴AF=AB=8cm，
设圆的半径为r（cm），则EF=r﹣4（cm），
∵AF2=AE2+EF2，
∴r2=82+(r﹣4)2，
解得：r=10cm.
故选A.
【点睛】本题主要考查圆的垂径定理，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数和反比例函数图象与系数的关系作出判断：
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴为直线x=，∴b＞0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.
∵c＜0，，∴一次函数的图象过第一、二、四象限.
∵ab＞0，∴反比例函数分布在第一、三象限．
∴一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是选项D.
故选D．
考点：1.二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系；2.不等式的性质.
6．如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，则（    ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用三角形的外角性质证明，再证明，再利用相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
，
等边中，，设，
，
，
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解答此题的关键．
7．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①同一平面内，不共线三点确定一个圆，故①错误，
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②正确，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故④正确，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，掌握以上知识是解题的关键．
8．如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得
【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是
∴,
∴是等腰直角三角形
∴
故选项是B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键
9．新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
【详解】解： 与是“同族二次方程”，
，
∴，
，
∴


，
最小值为，
最小值为，
即最小值为．
故选B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果△BAD∽△CBD，可得∠ADB=∠BDC=90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
11．如图，是半圆O的直径，四边形和都是正方形，其中点 在上，点在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形的面积与正方形的面积之和是（    ）

A．50 B．75 C．100 D．125
【答案】C
【分析】连接，设正方形的边长为a，正方形边长为b， ，根据正方形的性质，根据勾股定理得出得出把等式的左边分解因式后得出求出，再代入①，即可求出答案．
【详解】解：连接，设正方形的边长为a，正方形边长为b，，则，

∵四边形和都是正方形，
∴，
∵半圆O的半径为10，
∴，
由勾股定理得：

①②，得：
∴
∴
∴
∴
∵，
∴， 即，
把代入①，得，
即正方形的面积与正方形的面积之和是100，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
12．如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，，点从点运动到点时，随变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是(   )

A． B． C． D．

【答案】B
【分析】由函数图象可知：，，连接AC交BD于点O，连接FA，证明当A，E，F三点共线时，y取最小值为AE，作交于点P，利用求出，，进一步求出再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：由函数图象可知：当F与B重合时，，即，
∵，
∴，，，
当F与D重合时，，
连接AC交BD于点O，连接FA，

∵ABCD是菱形，
∴AC和BD互相垂直平分，
∴，
∴，
当A，E，F三点共线时，y取最小值为AE，
作交于点P，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，解题的挂件是根据函数图象求出，，再证明当A，E，F三点共线时，y取最小值为AE．

二、填空题
13．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 _____．
【答案】
【分析】根据题意可列出树状图进行求解即可．
【详解】解：由题意得：

∵有6种等可能的情况，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的有2种，
∴两次都摸出白球的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
14．白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场．
【答案】5
【分析】设共有x个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：，把相关数值代入求正数解即可．
【详解】设共有x个飞机场．
，
解得 ， （不合题意，舍去），
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．

【答案】
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为______cm2．

【答案】2
【分析】先根据勾股定理求得AC的长，再仔细分析图形特征可得阴影部分的面积等于半圆AC的面积减去扇形面积与等腰直角三角形ABC的面积的差.
【详解】∵等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm
∴
∴阴影部分面积.
【点睛】解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：，注意在使用公式时度不带单位.
17．如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．

【答案】##
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，

∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
18．已知抛物线（是常数），其图像经过点，坐标原点为．
若，则抛物线必经过原点；
若，则抛物线与轴一定有两个不同的公共点；
若抛物线与轴交于点（不与重合），交轴于点且，则；
点，在抛物线上，若当时，总有，则．
其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据函数图象的对称性能够判断出函数经过原点；利用判别式判断函数与轴的交点情况；确定点坐标后，可知函数与轴的两个交点，再利用一元二次方程根与系数的关系进行判断即可；利用函数的增减性确定，再由对称轴与的关系建立不等关系，结合点A进一步求解即可．
【详解】解：，
对称轴为直线，
抛物线是常数的图象经过点，
抛物线是常数的图象经过原点，
故符合题意；
抛物线过点，
，即，
，
，
，
，
，
抛物线与轴一定有两个不同的公共点，
故符合题意；
当时，，
，
，
，
或，
令，则，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述：的值为或，
故不符合题意；
，
，
当时，总有，
在时，随值的增大而增大，
，且，
，此时，
；
故符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，判别式与函数图象与轴交点的关系是解题的关键．

三、解答题
19．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用公式法求解；
（2）首先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据公式法求解．
【详解】（1），
∴
∴；
（2）原方程可化为：  ，
∵，
∴
∴
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的公式法求解是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．

(1)求、的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)4；6
(2)6

【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象轴交于点，
∴，OB=4，
∴一次函数解析式为，
设点C（m，n），
∵的面积是2．
∴，解得：m=1，
∵点C在一次函数图象上，
∴，
∴点C（1，6），
把点C（1，6）代入得：k=6；
（2）当y=0时，，解得：x=-2，
∴点A（-2，0），
∴OA=2，
∴．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
21．某中学九年级（1）班为了了解全班学生的兴趣爱好情况，采取全面调查的方法，从舞蹈、书法、唱歌、绘画等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择其中一种自己喜欢的兴趣项目），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)九年级（1）班的学生人数为　　，并将图①中条形统计图补充完整　　；
(2)图②中表示“绘画”的扇形的圆心角是　　度；
(3)“舞蹈”兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的舞蹈队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
【答案】(1)40，图见解析
(2)72
(3)

【分析】（1）利用喜欢书法的人数÷所占百分比求出总人数，再用总人数减去喜欢舞蹈、书法、唱歌的人数得到喜欢绘画的人数，补全条形图即可；
（2）用360º乘以喜欢绘画的人数所占的百分比即可得出图②中表示“绘画”的扇形的圆心角；
（3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：12÷30%＝40；40－4－12－16＝8；
补全统计图如图所示；

（2）解：；
（3）解：根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）= ．
【点睛】本题考查条形图与扇形图的综合应用，以及利用树状图求概率．通过条形图和扇形图有效的获取信息，准确的画出树状图是解题的关键．
22．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：

普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20

（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？
【答案】（1）普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）10元；（3）3000元．
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，根据每天的利润＝每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出答案．
【详解】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理，得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
（3）由题意得，这批3000包的N95口罩所获利润为2500×28×0.9﹣3000×20＝3000（元）．
答：这批3000包的N95口罩所获利润为3000元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系列式计算．
23．如图， 在中， ， 点是边上一点， 以为直径的 经过点， 点是直径上一点 (不与重合)， 延长交圆于点， 连接．

(1)求证： ；
(2)若， 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，据此即可得解；
（2）作于，连接．只要证明是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】（1）∵，    
∴，
∵，      
∴，      
∴；
（2）连，过F作于G，
则

∵    
∴    
∴
∵        
∴，
∴ ，
∴，    
∴，
∵ ，   
∴ ，   
∵，
∴ ，   
，    
∴，
∴，
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（−3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，请直接写出x的范围；
（3）点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD=90°时，求点D的横坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】（1）用待定系数法解二次函数的解析式即可；
（2）分别计算临界点、时，相对应的的值，再结合图象解题即可；
（3）过点D作DE⊥y轴于点E，由题意设，继而证明△AOC∽△CED，最后根据相似三角形对应边成比例性质及解一元二次方程解题．
【详解】解：（1）把A（−3，0）、B（−1，0）代入，得
，
解得
所以二次函数的解析式为；

（2）当时，即抛物线与轴的交点
当时，
即


结合图象可得，
当时，或；
（3）∵A（−3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4，
如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
设，
∵点D在第三象限，
∴x