浙江省杭州市拱墅区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

浙江省杭州市拱墅区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列生活中的事件，属于不可能事件的是（    ）

A．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．

B．在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．

C．打开电视，正在播放长征七号遥六运载火箭的发射实况．

D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级．

【答案】B

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；

B、在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，属于不可能事件，符合题意；

C、打开电视，正在播放长征七号遥六运载火箭的发射实况，是随机事件，不符合题意；

D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

2．下列二次函数中，图象形状与二次函数相同的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由于二次项系数a决定图象的形状，根据二次函数的这条性质可直接解答．

【详解】解：由题意知，图象形状与二次函数相同的是．

故选：A．

【点睛】本题主要考了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟记二次项系数a决定图象的形状．

3．在中，，，．以点为圆心，4为半径画圆，则（    ）

A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆上 D．点在圆外

【答案】C

【分析】根据点与圆的位置关系，得出点在圆内，再根据勾股定理，得出，再根据点与圆的位置关系，得出点在圆上，综合即可得出答案．

【详解】解：∵在中，，，，的半径为，

又∵，即，

∴点在圆内，

∵在中，，，

∴，

又∵，

∴点在圆上，

综上可得：点在圆内，点在圆上．

故选：C

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法．

4．如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例求解．

【详解】解：∵，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

5．如图，是的内接锐角三角形，是的直径，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据角之间的数量关系，即可得出答案．

【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴的度数为．

故选：D

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等，解本题的关键在熟练掌握相关的性质，并正确作出辅助线．

6．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ）

A．五位 B．四位 C．三位 D．二位

【答案】B

【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．

【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为；

取两位数时一次就拨对密码的概率为；

取三位数时一次就拨对密码的概率为；

取四位数时一次就拨对密码的概率为；

∵，

∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确．

故选：B．

【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

7．如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点离墙的距离．若，则梯子的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可由相似三角形的性质对应边成比例建立线段之间的关系，进而求解线段的长度即可．

【详解】解：由题意得，，

∴，

∴，

又，，，

代入可得：，

解得：，

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，能够求解一些简单的计算问题是解题的关键．

8．将函数是常数，的图象向上平移，平移后函数的图象与轴相交于点，．则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据图象向上平移，且，开口向上，得到对称轴不变，与轴的两个交点之间的距离减少，据此求解即可判断．

【详解】解：令，则，

解得或，

∴平移前函数的图象与x轴相交于点，，且，

∴平移前函数的图象的对称轴为，与轴的两个交点之间的距离为，

∵平移后函数的图象与轴相交于点，且，

∴平移前函数的图象的对称轴为，与轴的两个交点之间的距离为，

由于图象向上平移，且，开口向上，

∴对称轴不变，与轴的两个交点之间的距离减少，

∴，，

∴，，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象平移的规律是解题的关键．

9．如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据垂径定理，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据中位线的判定，得出为的中位线，再根据中位线的性质，得出，再根据勾股定理，得出，进而得出，解出得到，进而得出，再根据三角形的面积公式，结合，计算即可得出答案．

【详解】解：∵，，

∴，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∵为的中点，

∴为的中位线，

∴，

∵，

在中，

∵，

∴可得：，

解得：，

∴，

∴，

，

，

∴．

故选：C

【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定、中位线的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并充分利用数形结合思想．

10．已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（    ）

A．若有最大值4，则的值为 B．若有最小值4，则的值为

C．若有最大值，则的值为4 D．若有最小值，则的值为4

【答案】D

【分析】则点，都在一次函数的图象上，求得，，得到，推出当时，有最小值，当时，有最大值，根据四个选项即可求解．

【详解】解：∵点，都在一次函数的图象上，

∴，，即，

∴

，

当时，有最小值，

当时，有最大值，

A、若有最大值，解得，故本选项不符合题意；

B、若有最小值，解得，故本选项不符合题意；

C、若有最大值，则的值为4，故本选项不符合题意；

D、若有最小值，则，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，得到，根据二次函数的性质是解题的关键．

二、填空题

11．若，则=________

【答案】.

【详解】∵，

∴．

考点：比例的性质．

12．制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧（），点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为________cm（结果保留）．

【答案】

【分析】直接利用弧长公式求解即可．

【详解】解：∵半径，圆心角，

∴这段弯管中的长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式．

13．一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其它都完全相同的小球，其中3个红色，1个白色，随机从袋中摸出一个球，则摸到红色球的概率是______．

【答案】

【分析】根据简单概率公式计算即可求解．

【详解】解：随机从袋中摸出一个球，一共有4种情况，摸到红色球的情况有3种，依题意摸到的是红色球的概率是．

故答案为： ．

【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率的定义．

14．如图，在中，点在弦上，连接，．若，，，则线段的长为___________．

【答案】

【分析】过点作，垂足为点，根据线段之间的数量关系，得出，再根据垂径定理，得出，再根据勾股定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案．

【详解】解：过点作，垂足为点，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线．

15．已知，若二次函数（，，是常数，的自变量与函数的部分对应值如下表，

则____________，方程的两根为____________．

【答案】     3     ，

【分析】根据表格中对应值可求得对称轴为直线，再根据抛物线的对称性即可求解．

【详解】解：根据图表可知：

二次函数的图象过点，，

∴对称轴为直线，且经过点，，

∴点关于对称轴直线的对称点为，

点关于对称轴直线的对称点为，

∴，方程的两根为，，

故答案为：3；，．

【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．

16．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边的延长线上，，连接交于点，过点作于点，交边于点．若，，则___________，_______________．

【答案】         

【分析】连接，易证，推出为等腰直角三角形，得到是的垂直平分线，进而得到，设，利用线段之间的等量关系，用含的式子表示出，在中，利用勾股定理求出的长，在中求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到的长．

【详解】解：连接，

∵四边形为正方形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，即：，

∴为等腰直角三角形，

∵，

∴，

∴是的垂直平分线，

∴，

设，

则：，

∴，，，

在中，，即：，

解得：（舍去）；

∴，，

∴，

∴，

∵为等腰直角三角形，，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．

三、解答题

17．已知二次函数的图象经过点．

(1)求的值．

(2)若点也在这个二次函数的图象上，求的值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）直接把点代入，即可求解；

（2）把点代入（1）求得的解析式即可求得．

【详解】（1）解：根据题意得，

解得；

（2）解：∵，

∴二次函数解析式为．

∵点也在这个二次函数的图象上，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解本题的关键是确定出抛物线的解析式．

18．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘分别被分成三个大小相同的扇形，转盘A上的三个扇形区域分别标有数字1，3，6，转盘B上的三个扇形区域分别标有数字2，4，5．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向某个数字所在的扇形区域（若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止）．

(1)自由转动转盘A，求指针指向的区域所标数字是奇数的概率．

(2)方方转动转盘A，圆圆转动转盘B，转盘停止后，指针所指区域的数字较大的一方为获胜者．请用列表或画树状图说明方方和圆圆谁获胜的可能性更大．

【答案】(1)指针指向的区域所标数字是奇数的概率是；

(2)圆圆获胜的可能性更大．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中方方获胜的有4种，圆圆获胜的有5种，再由概率公式求得概率，即可得出结论．

【详解】（1）解：转动转盘A，三个数据中，奇数有2个，

则指针指向的区域所标数字是奇数的概率是；

（2）解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中方方获胜的有4种，圆圆获胜的有5种，

∴方方获胜的概率为，圆圆获胜的概率为，

∵，

∴圆圆获胜的可能性更大．

【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

19．要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．

(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？

(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．

【答案】(1)喷出的水流最高处距离地面4米；

(2)喷出的水流不会落在池外．理由见解析

【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度；

（2）令，则可以求得最大水平距离．

【详解】（1）解：，

∵，

∴当时，y最大，

最大值为，

∴喷出的水流最高处距离地面4米；

（2）解：令，则，

整理得，即，

解得或（舍去），

∵，

∴喷出的水流不会落在池外．

【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点的实际意义是解题的关键．

20．如图，在中，，点在边上，且．已知，，．

(1)求线段的长．

(2)点在边上，，作，交于点．若的面积为64，求四边形的面积．

【答案】(1)4

(2)39

【分析】(1)根据题意即可证得，再根据相似三角形的性质，即可求解；

(2)根据题意即可证得，再根据及相似三角形的性质，即可求解．

【详解】（1）解：，，

，

，

；

（2）解：，

，

，

，，

，

，

，

四边形的面积为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．

21．如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)若，，求线段的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出是的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；

（2）连接，根据勾股定理，得出，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，解得，再根据勾股定理，得出，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵点是的中点，

∴，

∴，

∴是的角平分线，

∴是等腰三角形；

（2）解：如图，连接，

在中，

∵，，

∴，

∴，

又∵，是等腰三角形，

∴是的中线，，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．

22．在平面直角坐标系中，点，在函数（，是常数）的图象上．

(1)若，，求该函数的表达式．

(2)若，求证：该函数的图象经过点．

(3)已知点，，在该函数图象上，若，，试比较，的大小，并说明理由．

【答案】(1)该函数的表达式为

(2)证明见解析

(3)，理由见解析

【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）根据待定系数法求出二次函数解析式，然后当时，计算出的值，即可得出结论；

（3）根据题意，把代入，得出，即，然后把代入，得出函数解析式为，再根据解析式，得出抛物线开口向上，对称轴为，再根据题意，得出该函数图象与轴有两个不同的交点，一个交点为，然后设另一个交点为，则，进而得出，再根据二次函数的图象与性质，得出比离直线较远，进而即可得出答案．

【详解】（1）解：∵，，

∴点，在函数（，是常数）的图象上，

把，代入解析式，

可得：，

解得：，

∴该函数的表达式为；

（2）证明：∵，

∴点，在函数（，是常数）的图象上，

把，代入函数，

可得：，

解得：，

∴函数的表达式为，

当时，，

∴该函数的图象经过点；

（3）解：，理由如下：

∵点在函数（，是常数）的图象上，

∴可得：，

∴，

∴函数解析式为，

∵，

∴抛物线开口向上，对称轴为，

∵点，在该函数图象上，，，

∴该函数图象与轴有两个不同的交点，一个交点为，

设另一个交点为，则，

∴，

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；

∵点，在该函数图象上，

∴比离直线较远，

∴．

【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、解二元一次方程组、二次函数的图象与性质，解本题的关键在熟练掌握二次函数的图形与性质．

23．如图，是矩形的对角线，，点，分别在边，上，把和分别沿直线，折叠，使点，分别落在对角线上的点，处，连接．

(1)求证：；

(2)若，，求线段的长；

(3)若，求的值．

【答案】(1)见解析

(2)；

(3)．

【分析】（1）由折叠的性质得到，利用线段的和差即可证明；

（2）利用勾股定理求得的长，再求得，利用面积法可求得，然后利用勾股定理即可求解；

（3）先证明，得到，推出，由平行线分线段成比例定理得到，再推出，得到，设，则，解方程即可求解．

【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，且把和分别沿直线，折叠，使点，分别落在对角线上的点，处，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵四边形是矩形，

∴，

∵，，

∴，

由题意得，

∴，

由折叠的性质得，，

∵，

∴，即，

解得，

∴；

（3）解：∵四边形是矩形，

∴，，

由折叠的性质得，，

∴，

∴，

∴，

即，

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

∴，

设，则，

∴，即，

解得（负值已舍），

∵，

∴符合题意，

∴．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．